Clasificación de los espacios de los grupos topológicos que no están bien delimitados

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo topológico. La construcción de la barra geométrica $BG = B_{\bullet}(pt, G, pt)$ junto con $EG = B_{\bullet}(pt,G,G)$ y el mapa $EG \to BG$ se obtiene el principal universal $G$ -bundle al menos, cuando la identidad $e \in G$ es una cofibración cerrada (una condición que suele llamarse bien señalado ).

Se afirma en el libro de Rudyak "On Thom spectra, Orientability and Cobordism" en el teorema 1.65 (iii) que esto sigue siendo cierto, si $G$ no está bien orientado. ¿Es un error del libro o me he perdido algo?

Sólo he podido consultar una de las referencias que da Rudyak. En "Classifying spaces and fibrations" de May, se afirma en el teorema 8.2 que $EG \to BG$ es un director $G$ -un paquete en el caso $e \in G$ es un punto base no degenerado.

Supongo que mi pregunta es:

¿Qué tan malo es el fibrado? $EG \to BG$ en el caso de que $G$ no está bien orientado. ¿Tiene $BG$ ¿todavía tiene el tipo de homotopía correcto / tipo de homotopía débil?

Answer 1

No tengo una respuesta real, sino observaciones y especulaciones posiblemente relevantes. Me imagino que $BG$ puede ser bastante horrible si $G$ no está bien apuntado, a menos que, por supuesto, se utilice la realización gorda, cuando me imagino la construcción gorda de $EG$ no da un paquete. Una observación es que $G$ es equivalente en homotopía a un monoide bien punteado (no a un grupo) $G'$ como se indica en la Observación 9.3 de Clasificación de espacios y fibrados. Se podría intentar comparar las categorías de principal $G$ -fibraciones y principal $G'$ -fibraciones. En otra dirección, para que un espacio esté bien punteado significa que es cofibrante en la estructura del modelo de Hurewicz (o Strom) sobre espacios topológicos basados. Como probablemente será evidente, no he pensado realmente en esto, pero uno podría pedir una estructura modelo de Hurewicz en grupos topológicos para los que la aproximación cofibrante da un grupo bien puntuado equivalente a la homotopía.