¿Por qué no existe el Teorema de Cayley para los anillos?

Question

El teorema de Cayley hace que los grupos sean agradables: un conjunto cerrado de biyecciones es un grupo y un grupo es un conjunto cerrado de biyecciones -hermoso, natural y comprensible canónicamente como simetría. No es tanto un teorema técnico como un glorioso manantial de intuición, algo que, al menos desde mi punto de vista, falta en los anillos, y quiero saber por qué.

Ciertamente, el sistema axiomático es más complicado, por lo que no es posible obtener una caracterización tan sencilla como la de los grupos, pero seguramente debe existir algún tipo de objeto universal para los anillos de una cardinalidad determinada, análogo al grupo simétrico en la teoría de grupos. Me sorprendería que fuera un anillo -las propiedades multiplicativas y aditivas de un anillo pueden cambiarse (en cierto modo) independientemente unas de otras-, pero ¿quizás una fibración de automorfismos sobre un grupo? Si es así, ¿hay alguna forma natural de interpretarlo?

Tal vez sea posible para una determinada subclase de anillos, tal vez sea posible pero inútil, tal vez sea imposible por razones específicas, en cuyo caso: cuanto más específico, mejor.

Editar: Así que la respuesta de Jack parece haberlo cubierto (¡y rápidamente!): ¡los endomorfismos de grupos abelianos son bonitos! ¿Pero podemos hacerlo mejor? ¿Existe la posibilidad de que el término "abeliano" pueda ser desenrollado hasta el punto de que podamos volver a hablar de conjuntos, o es demasiado esperar?

Answer 1

Todo anillo (asociativo, unital) es un subring del anillo de endomorfismo de su grupo aditivo subyacente. Los anillos actúan sobre grupos abelianos; los grupos actúan sobre conjuntos. La acción universal sobre un grupo abeliano es su anillo de endomorfismo; la acción universal sobre un conjunto es el grupo simétrico. Los módulos son anillos que recuerdan su acción sobre un grupo abeliano; los grupos de permutación son grupos que recuerdan su acción sobre un conjunto.

Un conjunto está determinado por su cardinalidad, pero para los grupos abelianos la cardinalidad no es un invariante muy útil. En lugar del "orden" de un anillo, considere la clase de isomorfismo de su grupo aditivo subyacente. Esto se hace incluso comúnmente en el caso de los anillos finitos, donde el orden sigue teniendo un ligero control, pero no tanto como la clase de isomorfismo del grupo aditivo.

Answer 2

Puedes pensar en el teorema de Cayley como el caso especial de El lema de Yoneda donde la categoría sólo tiene un objeto. Si se toma la versión aditiva del lema de Yoneda y se introduce una categoría aditiva con un objeto, se obtiene el enunciado deseado para los anillos que aparece en la respuesta de Jack. Ver el teorema de Cayley de esta manera te permite generalizarlo a muchas otras estructuras además de los grupos.

Answer 3

Una interpretación del teorema de Cayley es que te da una secuencia cofinal de grupos finitos, con respecto a los homomorfismos de grupo inyectivos, o una familia cofinal (o quizás una secuencia transfinita) de grupos no necesariamente finitos. Es importante notar que no es la única secuencia/familia cofinal interesante; también se podrían mirar los grupos de automorfismo de los espacios vectoriales (digamos sobre un campo finito favorito).

Al estudiar esta cuestión para los anillos, la respuesta de Jack Schmidt sugiere (pero no implica rigurosamente) mirar primero las familias cofinales de los grupos abelianos. Incluso en la categoría de grupos abelianos finitos, no hay ninguna secuencia cofinal que parezca tan bonita como la secuencia de grupos simétricos $S_n$ en el teorema de Cayley. Por ejemplo $(\mathbb{Z}/n!)^n$ es una secuencia cofinal, pero ésta es decididamente menos agradable.

La respuesta de Jack Schmidt se puede defender con esta analogía: El teorema de Cayley para grupos es análogo al teorema de Cayley para semigrupos, utilizando el semigrupo de todos los endomorfismos de un conjunto. Entonces un semigrupo unital es a un conjunto como un anillo unital es a un grupo abeliano, por lo que tomar todos los endomorfismos de ese grupo es de nuevo el mismo tipo de teorema.