¿Son ciertos estos límites?

Question

Quiero encontrar la integral doble $$\iint xy \, dx\,dy $$ sobre la región delimitada por el positivo $y$ - eje, la línea $y=\sqrt3 \ x$ y el círculo $x^2+y^2=4$ .

Mi solución es que $x=0$ a $x=(1/\sqrt3) y$ y $y=0$ a $y=2$ . ¿Es eso correcto?

Answer 1

Pasando a coordenadas polares, la integral viene dada por:

$$ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\int_{0}^{2}\rho^3\sin(\theta)\cos(\theta)\,d\rho\,d\theta=2\int_{\pi/3}^{\pi/2}\sin(2\theta)\,d\theta=\cos(2\pi/3)-\cos(\pi)=\frac{1}{2}.$$

Answer 2

Mi solución es que $x=0$ a $x=(1/\sqrt3) y$ y $y=0$ a $y=2$ .

Si lo expresas en ese tipo de lenguaje, sería mejor ser explícito en que estás poniendo la integral con respecto a $y$ en el exterior.

Esto sería $$ \int_0^2 \left( \int_0^{y/\sqrt 3} xy \, dx \right) \, dy $$ y eso es no correcto. Ignora la ecuación $x^2+y^2=4$ .

Si $x^2+y^2 = 4$ y $x\sqrt3 = y$ entonces $3x^2 + x^2 = 4$ entonces $x= \pm 1$ . Ya que usted dice que el "positivo" $y$ -eje, necesitamos $x=+1$ .

La ecuación $y^2+x^2=4$ equivale a $y = \pm\sqrt{4-x^2}$ y uniendo eso con $y\ge 0$ tenemos $y = \sqrt{4-x^2}$ .

Así que podemos decir $x$ va de $0$ hasta $1/\sqrt3$ y luego para cualquier valor fijo de $x$ la otra variable $y$ va de $x\sqrt3$ hasta $\sqrt{4-x^2}$ , por lo que tenemos $$ \int_0^1 \left( \int_{x\sqrt3}^{\sqrt{4-x^2}} xy\, dy \right) \, dx $$ (Si hay alguna duda sobre cuál de los dos límites de la integral interior es mayor, haz un dibujo). Detalles a continuación.

Si quieres hacerlo en el otro orden, entonces es más complicado. Tendrías que $$ \int_0^1 \left( \int_0^{y/\sqrt3} xy \, dx \right) \, dy + \int_1^2 \left( \int_0^{\sqrt{4-y^2}} xy \, dx \right) \, dy. $$

Para que realmente evaluar la integral, no lo haría así; utilizaría coordenadas polares.

Detalles: Tenemos $\displaystyle \int_0^1 \left( \int_{x\sqrt3}^{\sqrt{4-x^2}} xy\, dy \right) \, dx$ . La integral interna es $$\int_{x\sqrt3}^{\sqrt{4-x^2}} xy \, dy = \left[ \frac{xy^2} 2 \right]_{y:=x\sqrt3}^{y:=\sqrt{4-x^2}}$$ $$= \frac{x(4-x^2)} 2 - \frac{x\cdot 3x^2} 2 = 2x - 2x^3.$$ Entonces la integral exterior se convierte en

$$ \int_0^1 \left( 2x - 2x^3 \right) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^4} 2 \right]_0^1 = \frac 1 2$$

Pero (como dije arriba) esto no es como lo haría normalmente. Yo utilizaría coordenadas polares.