¿Es continuo este mapa de $\mathbb{R}$ a $[0,\infty)$?

Question

Sea $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida como $$ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si $x\leq 0$,} \\ x & \text{si $x > 0$.} \end{cases} $$ Entonces sea $(a,b)$ un intervalo abierto en $\mathbb{R}$, $-\infty\leq a

Answer 1

Estás utilizando una caracterización de un mapa continuo, es decir, el teorema de que un mapa es continuo si y sólo si la preimagen de cada conjunto abierto en le codominio es abierto en el dominio bajo el mapa; tu argumento me parece correcto.

Si por ahora no te has acostumbrado al enfoque, puedes considerar la caracterización por límites, que tal vez te resulte más familiar. El mapa $f$ restringido a $]-\infty, 0[$ es constante, por lo que es continuo; el mapa $f$ restringido a $]0,+\infty[$ es la identidad, por lo que es continuo. Claramente tenemos $\lim_{x \to 0-}f(x) = 0$ y $\lim_{x \to 0+}f(x) = 0$, por lo que $f$ también es continuo en $0$; por lo tanto, el mapa $f$ es continuo en $\mathbb{R}$.