Invertibility de operadores compactos en infinitas dimensiones de los espacios de Banach

Question

Deje $X$ ser un infinito-dimensional espacio de Banach, y $T$ un operador compacto de$X$$X$. ¿Por qué debe $0$, entonces, una espectral valor de $T$?

Creo que esto es equivalente a decir que el $T$ no es bijective, pero no estoy seguro de cómo muestran que la inyectividad implica la ausencia de surjectivity y de la otra manera (o si esta es la manera correcta de enfocar el problema).

Answer 1

Usted está en lo correcto que es lo mismo que decir que $T$ no es bijective, porque se desprende de la asignación abierta teorema de que un operador acotado en un espacio de Banach tiene una limitada inversa si es bijective. Sin embargo, más sencillo respuestas para tu pregunta puede ser dado sin explícitamente pensar en estos términos.

Usted puede demostrar que si $T$ es compacto y $S$ es acotado, entonces $ST$ es compacto. Si $T$ fueron invertible, esto implicaría que $I=T^{-1}T$ es compacto. Esto a su vez se traduce a decir que la bola unidad cerrada de $X$ es compacto. Una forma de ver que esto es imposible en el infinito dimensional caso está implícita en esta pregunta. Hay una secuencia infinita de puntos en la unidad de la bola cuyos pares distancias están delimitadas por debajo, no subsequence de que es de Cauchy.

Compacto de operadores en espacios de infinitas dimensiones puede ser inyectiva, pero nunca pueden ser surjective. Los subespacios cerrados de la gama compacta de operador son finito dimensionales.

También, lo que Qiaochu dijo en su comentario anterior.