Dejemos que $\mathbb{F}_3$ sea el campo con tres elementos. Sea $n\geq 1$ . ¿Cuántos elementos tienen los siguientes grupos?
Aquí GL es el grupo lineal general el grupo de los invertibles n × n matrices, y SL es la grupo lineal especial el grupo de n × n matrices con determinante 1.
Primera pregunta: Resolvemos el problema para "el" campo finito $F_q$ con $q$ elementos. La primera fila $u_1$ de la matriz puede ser cualquier cosa menos el $0$ -vector, por lo que hay $q^n-1$ posibilidades para la primera fila. Para cualquier una de estas posibilidades, la segunda fila $u_2$ puede ser cualquier cosa menos un múltiplo de la primera fila, dando $q^n-q$ posibilidades.
Para cualquier elección $u_1, u_2$ de las dos primeras filas, la tercera fila puede ser cualquier cosa menos una combinación lineal de $u_1$ y $u_2$ . El número de combinaciones lineales $a_1u_1+a_2u_2$ es sólo el número de opciones para el par $(a_1,a_2)$ y hay $q^2$ de estos. De ello se desprende que para cada $u_1$ y $u_2$ Hay $q^n-q^2$ posibilidades para la tercera fila.
Para cualquier opción permitida $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ la cuarta fila puede ser cualquier cosa excepto una combinación lineal $a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3$ de las tres primeras filas. Por lo tanto, para cada $u_1, u_2, u_3$ hay $q^3$ prohibidas las cuartas filas, y por lo tanto $q^n-q^3$ permitidas las cuartas filas.
Continuar. El número de matrices no singulares es $$(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\cdots (q^n-q^{n-1}).$$
Segunda pregunta: Primero tratamos el caso $q=3$ de la pregunta. Si multiplicamos la primera fila por $2$ cualquier matriz con determinante $1$ se mapea a una matriz con determinante $2$ y cualquier matriz con determinante $2$ se mapea a una matriz con determinante $1$ .
Así, hemos producido un biyección entre matrices con determinante $1$ y matrices con determinante $2$ . De ello se desprende que $SL_n(F_3)$ tiene la mitad de elementos que $GL_n(F_3)$ .
La misma idea funciona para cualquier campo finito $F_q$ con $q$ elementos. Multiplicando la primera fila de una matriz con determinante $1$ por el elemento de campo no nulo $a$ produce una matriz con determinante $a$ y todas las matrices con determinante $a$ puede producirse de esta manera. De ello se desprende que $$|SL_n(F_q)|=\frac{1}{q-1}|GL_n(F_q)|.$$
La función determinante es un homomorfismo sobreyectivo de $GL(n, F)$ à $F^*$ con núcleo $SL(n, F)$ . Por lo tanto, por el teorema del isomorfismo fundamental $\frac{GL(n,F)}{SL(n,F)}$ es isomorfo a $F^*$ el grupo multiplicativo de elementos no nulos de $F$ .
Por lo tanto, si $F$ es finito con $p$ elementos entonces $|GL(n,F)|=(p-1)|SL(n, F)|$ .
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