duda sobre matrices simétricas y normas vectoriales

Question

Dejemos que $A$ sea una simetría $N\times N$ matriz que no es un producto de un escalar por una matriz ortogonal.

Lo que hay que imponer a dos vectores de N dimensiones $v_1$ y $v_2$ con $|v_1| = |v_2| = 1$ , por lo que tenemos $|Av_1| = |Av_2|$ (norma euclidiana)?

por ejemplo que $k_1$ , $-k_1$ y $k_2$ que no sea $\pm k_1$ son valores propios de $A$ Así que $Ax_1 = k_1x_1$ y $Ax_2 = -k_1x_2$ y $Ax_3 = k_2x_3$ Así que

$| x_1| = | x_2 | = | x_3 | = 1$ así

$| Ax_1 | = | Ax_2 |$ y $| Ax_3 |$ es diferente

$| Ax_1 | = | Ax_2 |$

Además de eso $$ |(x_1 + x_3) / \sqrt{2} | = | (x_1-x_3) / \sqrt{2} | \\ = 1 e | A (x_1 + x_3) / \sqrt{2} | \\ = | A (x_1-x_3) / \sqrt{2} | \\ = \sqrt{(k_1^2 + k_3^2) / 2}, $$ de nuevo es diferente $| Ax_1 | , | Ax_2 |$ y $| Ax_3 |.$ Lo que quiero saber es bajo qué condiciones dos vectores unitarios tienen la misma norma.

Answer 1

Considerando la sugerencia de @Ben Grossmann He pensado en si A:V->V $A^2$ y si $\lambda _i$ i = 1, .., k son los distintos autovalores de $ A^2 $ de $A^2$ y $\lambda _1> \lambda _2> ...>\lambda_k $ y $ P_i $ es un proyector V en $ Kernel (A ^ 2- \lambda _i I)$ entonces $ |Ax| = |Ay| $ si y sólo si, $ |P_ix|^2 =|P_iy|^2 $ para i = 1, .. k. Por supuesto, si esto es cierto, las reglas son las mismas. Por otro lado, |Ax| = |Ay|, entonces $ |x|^2 = |P_1x|^2 + |P_2x|^2 + .. +|P_kx|^2 =1 $ y lo mismo ocurre con y, por lo que $ \lambda_1 (|P_1y |^2- |P_1x|^2) =\lambda _2 |P_2x|^2-|P_2y |^2 + ... + \lambda _k|P_kx |^2-|P_ky |^2 $ sólo mira 1- P_1x = P_2x + + P_kx $ and the same goes for y, so |P_1y |^ 2-| P_1x |^2 =|P_2x |^2 - |P_2y |^2 + .. +| P_kx |^2-|P_kx |^2-|P_ky|^2$ . por lo que llegamos a $\lambda_1 (|P_2x |^2-|P_2y|^2 + .. + |P_kx|^2-|P_kx|^2- |P_ky|^2) =\lambda _2 |P_2x|^2-|P_2y|^2 + ... +\lambda_k |P_kx |^2-|P_ky |^2 $ . Así que tenemos $\lambda_1 = \frac {\lambda _2 |P_2x |^2-|P_2y | ^ 2 + ... + \lambda_k|P_kx |^2-|P_ky|^2} {(|P_2x |^2 -|P_2y |^2 + .. + |P_kx |^2+|P_kx|^2- |P_ky|^2)} $ . Ahora bien, si B es la matriz de A restringida al complemento de $P_1(V)$ que esto es sólo el vector $ |\frac {B(x-y-P_1(x-y))} {| x-y-P_1 (x-y)|} $ , norma $ |B| =\lambda_2 $ , al igual que $ \lambda_1> \lambda_2 $ B nunca asignaría esta norma a un vector de norma 1. Por lo tanto, |P_1y|^2-|P_1x|^ 2=0 queda, así como para todo i , y muestra lo que queríamos.