Cómo expresar la hipótesis de Riemann, en términos de la función Gamma?

Question

1. La hipótesis de Riemann (RH) establece que todos los no-trivial de los ceros de la función zeta tienen parte real $\frac{1}{2}$.

2. Los zeta función está íntimamente relacionada con la función Gamma a través de la ecuación funcional.

El segundo hecho sugiere que hay una forma equivalente de RH que se expresa únicamente en términos de la función Gamma.

Pregunta: ¿Cuál es la forma más natural para traducir RH tan directamente como sea posible (sin mencionar la función zeta) en una hipótesis sobre el comportamiento de la función Gamma?

Answer 1

Desde

$$\zeta(z)=\frac{\Gamma (1-z) \left(2^{-z} \left(\psi \left(z-1,1\right)+\psi \left(z-1,\frac{1}{2}\right)\right)-\psi(z-1,1)\right)}{\ln(2)}$$

donde $\psi(x,z)$ es la generalizada polygamma siguientes Espinosa de la generalización, lo que podemos decir acerca de la función Zeta también podemos decir acerca de la parte derecha de esta identidad. Consta sólo de la función Gamma, su (fracciones) de derivadas e integrales.

Answer 2

El artículo de la Wikipedia ofrece una Mellin transformar

$$\Gamma(s)\zeta(s) =\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1} dx.$$

El de la serie de Dirichlet sobre la función de Möbius da el recíproco

$$ \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} .$$

Por lo tanto podemos escribir

$$\Gamma(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} \int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1} dx .$$

Esto es cierto para cada número complejo con parte real mayor que $1$. Ahora vamos a tratar de ampliar el dominio de validez de esta representación. Riemann demostró (ver el libro de H. M. Edwards, Riemann Zeta Función, para los detalles) que la modificación del contorno proporciona una fórmula válida para todo el complejo s.

$$ 2\sin(\pi s)\Gamma(s)\zeta(s) = i \oint_C \frac{(-x)^{s-1}}{e^x-1}dx .$$

Esto lleva a

$$ \sin(\pi s) \Gamma(s) = \frac{i}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} \oint_C \frac{(-x)^{m-1}}{e^x-1} dx . \qquad (*) $$

Sin embargo, esta fórmula es de nuevo sólo válida para s con parte real mayor que $1$, debido a la utilización de la Dirichlet de la serie. Wikipedia observaciones:

"La hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que [este la representación de la recíproca de la función zeta] es válida cuando la parte real de la $s$ es mayor que $\frac{1}{2}$."

Así, una posible respuesta a mi pregunta es:

La representación $\,*\,$ es válida para todas las $s$ con parte real mayor que $\frac{1}{2}$ si y sólo si la humedad relativa se mantiene.

Tal vez alguien puede elaborar más a esa relación y darle un mayor sentido geométrico? Dónde están los no-trivial de los ceros de la función zeta para ser visto en esta configuración?