Magnetización cero del modelo de espín sin campo magnético externo

Question

Para un Hamiltoniano dado con interacción de espín, digamos el modelo de Ising $$H=-J\sum_{i,j} s_i s_j$$ en el que no hay campo magnético externo. El Hamiltoniano es invariante bajo la transformación $s_i \rightarrow -s_i$ , por lo que siempre hay dos estados de espín con exactamente la misma energía.

Para la magnetización $M = \sum_i s_i$ podemos tomar la media del conjunto $$\left\langle M\right\rangle =\sum_{\{s_{i}\}}M\exp(-\beta E)$$ y el resultado debería ser $\left\langle M\right\rangle = 0$ porque los dos estados con todo el espín invertido se anularán exactamente. Hay un argumento para esto en el wiki .

Así que la pregunta: ¿cómo se maneja esta situación para la red finita e infinita? ¿Cómo pueden obtener la magnetización no nula para el Modelo Ising 2D ?

$$M=\left(1-\left[\sinh\left(\log(1+\sqrt{2})\frac{T_{c}}{T}\right)\right]^{-4}\right)^{1/8}$$

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Algunas informaciones para un modelo Ising 1D con campo magnético externo, se puede resolver el Hamiltoniano $$H=-J\sum_{i,j} s_i s_j - \mu B \sum_i s_i$$ y se obtiene la magnetización como $$\left\langle M\right\rangle =\frac{N\mu\sinh(\beta\mu B)}{\left[\exp(-4\beta J)+\sinh^{2}(\beta\mu B)\right]^{1/2}}$$ Da el resultado $\left\langle M\right\rangle \rightarrow 0$ cuando $B \rightarrow 0$ para cualquier temperatura y esto coincide con la definición de la magnetización anterior. Sin embargo, da $\left\langle M\right\rangle \rightarrow N\mu$ cuando tomamos el límite de $T \rightarrow 0$ . Sugiere que la ordenación del límite es importante, pero seguimos obteniendo $\left\langle M\right\rangle = 0$ cuando no hay campo magnético externo.

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Recordatorio : Hay que tener algunas precauciones cuando se ejecuta la simulación por ordenador utilizando la definición de magnetización anterior directamente, de lo contrario, siempre se obtendrá 0. Estos métodos son similares para crear una ruptura de simetría espontánea manualmente, para el modelo de Ising, se puede utilizar lo siguiente:

• Utilice el $\left\langle |M|\right\rangle$ en cambio
• Fijar el estado de un giro para que el sistema se cierre a $M=+1$ ou $M=-1$ a baja temperatura.

En general, se debe utilizar la escala de tamaño finito porque probablemente estemos interesados en el límite termodinámico del sistema.

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Actualización : La visualización debería explicar mejor el problema. Aquí está la figura de la distribución canónica en función de la magnetización $M$ y la temperatura $T$ para el modelo 3D Ising ( $L = 10$ ).

A una temperatura fija $T \lesssim T_c$ Hay dos picos simétricos con magnetización opuesta. Si utilizamos a ciegas la $\left\langle M\right\rangle$ definido anteriormente, obtendremos $\left\langle M\right\rangle = 0$ . Entonces, ¿cómo se afronta esta situación?

Para un sistema finito, existe una probabilidad finita de que pueda producirse la transición entre dos picos. Sin embargo, el "valle" entre dos picos será cada vez más profundo cuando el tamaño del sistema $L$ aumento. Cuando $L \rightarrow \infty$ la probabilidad de transición tiende a cero y esos dos espacios de configuración deben estar separados. Nótese que la "montaña plana" de la figura en $L = 10$ también se convertirá en un pico muy muy agudo cuando $L \rightarrow \infty$ .

Un método que se discute en las respuestas más abajo es considerar la media de $M$ para espacios de configuración separados. Esto parece razonable para un sistema infinito, pero se convierte en un problema para un sistema finito. Otro problema que se plantea aquí es que ¿cómo encontrar cada uno de los espacios de configuración separados?

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Gracias personas tratan de dar las respuestas a esta pregunta. En la siguiente discusión, Kostya da el tratamiento típico de la ruptura espontánea de la simetría. Marek discute el promedio del conjunto por debajo y por encima de la temperatura crítica. Greg Graviton da un análogo para la ruptura de simetría espontánea en el espacio real.

Si alguien puede explicar mejor el problema del espacio de configuración y cómo tomar la media para el modelo de Ising, otros modelos de espín o el caso general, es bienvenido a dejar la respuesta aquí.

Answer 1

Tal vez no entendí la pregunta, pero el punto de la discusión del modelo de Ising es no obteniendo una magnetización nula. Este es un tema del ruptura espontánea de la simetría (más "SSB"). La simetría de la que hablas se rompe espontáneamente dando lugar a una magnetización no nula. Debo admitir que nunca he entrado en detalles de la solución de Onsager, pero sé que hay tres enfoques de este concepto tan importante de la física moderna.

1. Límite del pequeño "campo magnético".
   Puedes considerar una situación, cuando tienes tu sistema en un campo magnético $H$ primero -- en ese caso no existe la mencionada simetría, y la magnetización se hace a lo largo del campo magnético. Entonces se apaga el campo magnético.
   La cuestión es que los límites $H\to\infty$ y $N\to\infty$ no se desplazan, por lo que si primero toma el $N\to\infty$ límite y luego $H\to\infty$ se terminará con una magnetización espontánea.
   Que yo sepa, este es el enfoque más antiguo de la BLU y se repite en muchos libros de texto de física estadística.

2. Condición límite.
   Eso es tan trivial que es aburrido - sólo "poner en" la magnetización preferida mediante el establecimiento de condiciones de contorno adecuadas para su sistema. Sólo hay que fijar la dirección de los espines en la frontera o "en el infinito". Por lo que sé -- este es el enfoque adoptado en el análisis de física matemática de SSB.

3. No hay transición en su vida
   Eso es lo más "inútil" y lo más bonito en mi opinión. Siempre hay una probabilidad de que tu sistema pase al estado con dirección opuesta de magnetización debido a alguna fluctuación con una probabilidad realmente pequeña. Asi que la magnetizacion sigue siendo cero si se promedia sobre un tiempo infinito. Pero esas transiciones son tan improbables que definitivamente no verás ninguna aunque esperes miles de millones de años.

Answer 2

Permítanme hacer primero una pregunta aparentemente ingenua: ¿qué es realmente un conjunto estadístico? Matemáticamente, es una prescripción de una asignación de probabilidad a cada microestado. Por tanto, se trata de una medida de probabilidad. Pero hay que tener cuidado con las medidas definidas en sistemas infinitos. Ciertamente no se puede trabajar a ciegas con $\exp(-\beta E)$ factores como la energía será generalmente infinita para un sistema infinito. Pero, afortunadamente, en el caso del modelo de Ising (y de muchos otros modelos de espín), resulta que existe una muy buena Medida de Gibbs . No voy a derivar aquí todos los resultados sobre las medidas de Gibbs (véase por ejemplo Georgii de la biblia), pero básicamente uno prescribe de forma coherente cómo debe comportarse la medida en todo finito regiones cuando se someten a algunas condiciones de contorno. La lógica es que en las regiones finitas todo se comporta bien (y la energía es finita) y podemos recuperar el comportamiento termodinámico del volumen infinito mediante algunos procedimientos de limitación.

Ahora bien, si se trata de el media del conjunto, estás suponiendo que sólo hay un conjunto de este tipo y, por tanto, sólo una medida de Gibbs para un modelo determinado. Resulta que esta suposición falla. Puede existir más de una medida y esto equivale en realidad a la aparición de una transición de fase de primer orden. En otras palabras, sólo se tiene una medida (o una fase) para $\beta \leq \beta_c$ . Para $\beta > \beta_c$ siempre tendrás dos medidas (igualmente buenas) para elegir y en realidad también puedes tomar su combinación convexa pero resulta que sólo los puntos extremos del conjunto convexo de todas las medidas de Gibbs son lo que llamaríamos una fase. La razón por la que has obtenido un cero en tu media es precisamente porque has elegido una combinación de este tipo $1/2 (\mu^{\beta}_+ + \mu^{\beta}_-)$ . Pero esto no es una fase macroscópica, sino una descripción de su incertidumbre (completa) de no saber todavía si el sistema está en $+$ estado o el $-$ estado.

La transición de fase de segundo orden (la que corresponde aquí al SSB) está asociada a la "fusión" de las medidas de Gibbs $$\lim_{\beta \to \beta_c} \mu^{\beta}_+ = \lim_{\beta \to \beta_c} \mu^{\beta}_- = \mu^{\beta_c}$$ O quizás el punto de vista más natural es el "desdoblamiento" de la medida a medida que disminuye la temperatura, de modo que el sistema tiene que "decidir" cuál de las fases de baja temperatura escogerá.

Nota: lo que implícitamente asumí más arriba fue que las medidas son invariables por desplazamiento (homogéneas, si se quiere). Si se elimina esta condición, existen muchas más medidas (asociadas a las fases) que describen una interfaz. Por ejemplo, consideremos un sistema Ising en un cuadrado con $+$ condición de contorno en el fondo de la caja y $-$ en la parte superior. En un límite termodinámico se obtiene un sistema que es mayoritariamente $+$ en el fondo, sobre todo $-$ en la parte superior y con una interfaz fluctuante en el centro.

Answer 3

Si te he entendido bien, parece que estás planteando la cuestión fundamental de cómo es posible que se rompan las simetrías. Al fin y al cabo, existe una aparente contradicción: por un lado, la media térmica $\langle M \rangle= \sum_{\{s_i\}} M \exp(-\beta E)$ debe desaparecer debido a la simetría, mientras que, por otro lado, los físicos afirman que el modelo de Ising 2D da lugar a una magnetización no nula. ¿Cómo puede ser eso?

El siguiente experimento mental proporcionará una respuesta instructiva:

Imagina una mesa con un péndulo invertido unido a ella. Suponemos que la cabeza del péndulo sólo puede moverse de izquierda a derecha o al revés hasta que choca con la mesa, es decir, que se limita a una dimensión y su posición puede describirse mediante un único ángulo $\phi\in[-\pi,\pi]$ .

La energía potencial del péndulo viene dada por $E(\phi)=-A\cos \phi$ . Es evidente que toda la situación es simétrica con respecto a un reflejo $\phi \mapsto -\phi$ la energía potencial es invariante bajo esta reflexión.

Pero esta simetría de la energía no no implican que el estados estables son también simétricos. Es decir, la energía tiene dos, asimétrico mínimos en $\phi=\pi$ y $\phi=-\pi$ respectivamente (el péndulo es detenido por la mesa); los estados estables ya no son simétricos. Por supuesto, la simetría no se pierde; si has calculado un estado estable, puedes aplicar la reflexión y obtener el otro, pero la cuestión es que ahora hay varios estados estables. La energía es simétrica, pero sus mínimos no lo son.

Ahora, imagina el siguiente experimento: la mesa con el péndulo está situada en una habitación y tú te encuentras en otra. Un amigo tuyo pone el péndulo exactamente en la $\phi=0$ posición (que es inestable) y luego se suelta. Como estás en otra habitación, no puedes ver lo que va a ocurrir a continuación en el sistema termodinámico formado por el péndulo y tu amigo.

Pregunta: antes de entrar en la otra habitación, ¿cuál es la posición media, el "promedio del conjunto" del péndulo? Pues bien, caerá a la izquierda o a la derecha con igual probabilidad, por lo que tras un breve lapso de tiempo en el que el péndulo golpea la mesa y se restablece el equilibrio térmico, la media será

$$\langle \phi \rangle = \frac12 \pi + \frac12 (-\pi) = 0 \quad!$$

Por supuesto, si ahora corres a la otra habitación esperando que el péndulo esté en la posición $\phi=0$ En el caso de que la mesa se encuentre peligrosamente equilibrada, se decepcionará al saber que ha caído a la izquierda $\phi=\pi$ o a la derecha $\phi=-\pi$ .

¿Qué ha pasado? La cuestión es que el promedio térmico es efectivamente cero, pero la situación es tan inestable que en cuanto se adquiere un mínimo de información, como un breve vistazo a la otra habitación, o el conocimiento de la posición de una sola molécula del péndulo, la situación se dividirá en dos y observará uno de los dos resultados diferentes. Los resultados tienen la misma probabilidad, por eso se obtiene una media de conjunto de cero, cualquiera de los dos podría haber ocurrido. Pero ocupan partes muy diferentes del espacio de configuración, y de repente obtienes un ángulo no nulo o una magnetización no nula. Compárese esto con un gas ideal, en el que obtener información sobre la posición de una sola molécula tiene un impacto insignificante en la situación general. En el caso del péndulo, conocer la posición de una sola molécula lo cambia todo, y por eso la media térmica no da una descripción adecuada de lo que vas a medir.

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Actualización

Para profundizar en el último párrafo:

Es importante entender cuál es el promedio térmico $\langle \phi \rangle$ lo hace. En el artículo de E.T. Jaynes se ofrece una muy buena explicación La evolución del principio de Carnot . En concreto, la media térmica es

la media sobre la distribución de probabilidad que maximiza el "número de formas en que se puede realizar el sistema" (= entropía), sujeta a la restricción de que la energía media tenga un valor fijo $\langle E \rangle = E_0$ .

En otras palabras, si sólo conocemos la energía media del sistema y desconocemos todo lo demás, el principio de máxima entropía da una distribución de probabilidad con la que podemos calcular otras cantidades, como la magnetización media $\langle M \rangle$ . Para nuestro péndulo, este razonamiento tiene sentido: si estamos en la otra habitación, el la mejor predicción sobre la posición del péndulo que podemos hacer es efectivamente $\langle \phi \rangle = 0$ .

Si entramos en la otra habitación y miramos el péndulo, adquirimos algo más de información que la energía media, por ejemplo la posición de una sola molécula del péndulo. La cuestión es que la distribución de probabilidad tiene un pico alrededor de $\phi=\pi$ y $\phi=-\pi$ y la poca información que adquirimos es suficiente para ver que el sistema se encuentra en uno de los picos. En otras palabras, elevar un poco nuestra ignorancia da lugar a un cambio notable en la predicción.

Compárese con un gas ideal, en el que el aprendizaje de la posición de una sola molécula no cambia nada de la distribución de probabilidad a gran escala y no cambiará nuestra predicción de las cantidades macroscópicas.