Temperaturas extremas, relatividad y teoría cinética

Question

Según la teoría cinética, la energía cinética media es proporcional a la temperatura. Suponiendo que $k_BT/2$ por partícula, ¿podemos utilizar la relatividad y la teoría cinética para calcular, por ejemplo, la temperatura y la velocidad de los quarks en un plasma de quarks-gluones y estados de materia más calientes/densos?

Nota: Ya hice algunos cálculos para comprobar esta idea

Teoría cinética normal (en 3D)-> $$E_c(av)=\dfrac{1}{2}mv^2=3k_BT/2$$ debe ser sustituido (???) por

$$E_c(rel)=Mc^2-mc^2$$

con $$M=m\gamma$$

Para un plasma de quark-gluones, tomando la masa del protón como m y la temperatura crítica como 200MeV obtengo

$$200MeV=3/2k_BT$$

por lo que T es alrededor de $$2\cdot 10^{12}K$$ o alrededor de 4x10¹²K si dejo de lado el factor 3 anterior. Eso está bien con la temperatura conocida del plasma de quarks-gluones. También me preocupa la cuestión de determinar el factor gamma para los protones (¿quarks?) a esas energías/temperaturas...

Tengo, para los protones en este

$$\beta=v/c=\sqrt{1-(mc^2/E)^2}=0.977$$

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tal vez sea mejor redefinir la ecuación de la energía como: $$ m \ c^{2} \left( \gamma_{rms} - 1 \right) = \frac{3}{2} k_{B} \ T $$ donde $\gamma_{rms}$ es el factor de Lorentz del velocidad rms del gas relativista. Se puede demostrar que esto es así: $$ \left( V_{rms} \right)^{2} = c^2 \left[ 1 - \left( \frac{3 \ k_{B} \ T}{2 \ m \ c^{2}} + 1 \right)^{-2} \right] $$ Esto surge porque su suposición de que la energía es proporcional a $\left( 3 k_{B} T \right)/2$ proviene del segundo momento de la velocidad de una función de distribución de la velocidad de Maxwell-Boltzmann. Si utilizas la versión relativista de esta función de distribución, tienes que utilizar la forma de energía relativista de la ecuación, no la forma de velocidad. Aquí el término exponencial va a: $$ EXP\left( -\frac{m \ v^{2}}{2 \ k_{B} \ T} \right) \rightarrow EXP\left( -\frac{m \ c^{2} \left( \gamma_{v} - 1 \right)}{k_{B} \ T} \right) $$ donde $\gamma_{v}$ es el factor de Lorentz de la velocidad de la partícula, $v$ . Creo que esto cambiará ligeramente tus resultados. Puede que haya otras (¿o mejores?) formas de hacerlo, pero creo que esto es correcto porque evita que cualquier partícula dada en la distribución de velocidades tenga una velocidad que exceda la velocidad de la luz.