Hace $|n^2 \cos n|$ divergen a $+\infty$ ?

Question

Hace poco me encontré con el problema de decidir si $$ \lim_{n \to +\infty} |n \cos n| = +\infty$$ donde el límite se toma sobre los enteros. Como $|\cos n|$ oscila a lo largo del intervalo $[0,1]$ parece plausible que todo número real debería ser un punto límite de esta secuencia. Pero para demostrar que el límite no existe, basta con demostrar que la sucesión es menor que $2$ infinitamente a menudo, y esto se puede hacer con fracciones continuas: podemos encontrar fracciones arbitrariamente grandes $p$ y $q$ con $q$ impar tal que $$ \left| \frac{\pi}{2} - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2} $$ lo que implica $$ \left| \frac{q-1}{2} \pi + \frac{\pi}{2} - p \right| < \frac{1}{q} $$ haciendo $p$ una buena aproximación a $\pi/2$ modulo $\pi$ y por lo tanto $$ \left| p \cos p \right| < \frac{p}{q} < 2 $$

Este método falla si consideramos en cambio la secuencia $n^{1+\epsilon} \cos n$ ya que la desigualdad final es una función creciente de $n$ . De hecho, un argumento estadístico heurístico sugiere que $$ \lim_{n \to +\infty} |n^{1 + \epsilon} \cos n| = +\infty $$ realmente se mantiene: imagina el $n$ se seleccionan en realidad de forma aleatoria y uniforme entre $[0, \pi]$ hay un número aproximado de $2p/\pi$ la posibilidad de que $|\cos n| < p$ . Para cualquier constante positiva $B$ el número esperado de términos de $n^{1 + \epsilon} |\cos n|$ que son inferiores a $B$ es $$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2B}{\pi n^{1 + \epsilon}} $$ que, en particular, es finito.

Por supuesto, esto es sólo heurístico. ¿Alguien sabe de una prueba o refutación de la conjetura $$ \lim_{n \to +\infty} |n^{1 + \epsilon} \cos n| = +\infty $$ para números reales positivos $\epsilon$ donde el límite se toma sólo sobre números enteros?

EDIT: Ya que ha habido algunas respuestas erróneas, señalaré que observar $|\cos n|$ oscila de 0 a 1 no es suficiente para demostrar que el límite no existe. Consideremos la secuencia $g(n)$ definido por

• $g(0) = 1$
• $g(n) = \max\{ g(n-1), n / |\cos n| \} + 1$

Entonces $g(n)$ es una secuencia creciente no limitada tal que $|g(n) \cos n| > n$ para todos $n$ y por lo tanto

$$ \lim_{n \to +\infty} |g(n) \cos n| = +\infty $$

A grandes rasgos, $g(n)$ se desvía hacia $+\infty$ más rápido que $n \pmod \pi$ puede aproximarse $\pi / 2$ .

La pregunta de este post es si $n^2$ (o $n^{1 + \epsilon}$ ) también diverge a $+\infty$ lo suficientemente rápido.

Answer 1

(nota del editor: he movido la segunda sección original a la parte superior, ya que la primera sección original respondía a la pregunta equivocada)

Editar: Me faltó el exponente de $2$ .

Obviamente $(6)$ implica, $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|n^2\cos(n)|=\infty$ . Sin embargo, la evaluación de $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}|n^2\cos(n)|$ es mucho más difícil. Un resultado difícil es que la medida de irracionalidad de $\frac\pi2$ es menor que $8.01604539$ . Esto significa que para todas las aproximaciones racionales, excepto para un número finito, $$ \left|\frac{p}{q}-\frac\pi2\right|\ge\frac1{q^{8.01604539}}\tag{7} $$ Para hacer la estimación en $(3)$ que se produzca un límite infinito, tendríamos que demostrar que la medida de irracionalidad de $\frac\pi2$ es menor que $3$ . Wikipedia dice que "La medida exacta de irracionalidad de $\pi$ no se conoce, sin embargo en $2008$ Salikhov ha dado la aproximación $7.6063$ ." Esto significaría que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}|n^2\cos(n)|$ no existe.

---

Como se demostró en esta respuesta podemos encontrar un número infinito de aproximaciones de fracciones continuas de $\frac\pi2=\frac{p}{q}$ con $q$ impar y para que $$ \left|p-q\frac\pi2\right|\le\frac1q\tag{1} $$ Para aproximaciones como en $(1)$ tenemos, por la expansión de Maclaurin, $$ (-1)^{(q-1)/2}\cos(p)=-\left(p-q\frac\pi2\right)+O\left(p-q\frac\pi2\right)^3\tag{2} $$ Tomando $\liminf$ obtenemos $$ \begin{align} \liminf_{p\to\infty}|p\cos(p)| &\le\lim_{p\to\infty}p\cdot\frac{1}{q}\\ &=\frac{\pi}{2}\tag{3} \end{align} $$ De forma similar, podemos encontrar un número infinito de aproximaciones de fracciones continuas de $\pi=\frac{p}{q}$ para que $$ \left|p-q\pi\right|\le\frac1q\tag{4} $$ Para aproximaciones como en $(4)$ tenemos, por la expansión de Maclaurin, $$ (-1)^q\cos(p)\ge1-\frac12\left(p-q\pi\right)^2\tag{5} $$ Tomando $\limsup$ obtenemos $$ \begin{align} \limsup_{p\to\infty}|p\cos(p)| &\ge\lim_{p\to\infty}p\left(1-\frac{1}{2q^2}\right)\\ &=\infty\tag{6} \end{align} $$ Así, $\displaystyle\liminf_{n\to\infty}|n\cos(n)|\le\frac\pi2$ y $\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|n\cos(n)|=\infty$ . Por lo tanto, el límite no existe.

---