Un subconjunto , del espacio de todas las funciones continuas de valor real sobre un espacio de Hausdorff localmente compacto ," que desaparece en el infinito" , con cierre compacto

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio de Hausdorff localmente compacto, sea $C_0(X,\mathbb R)$ sea el espacio de todas las funciones continuas de valor real que "desaparecen en el infinito" ( $f:X \to \mathbb R$ se dice que desaparece en el infinito si para cada $\epsilon >0$ , $\exists K \subseteq X$ , $K$ compacto tal que $|f(x)|<\epsilon , \forall x \in X \setminus K$ ) . Equipar $C_0(X , \mathbb R)$ con la norma sup y dejemos que $\mathcal F \subseteq C_0(X,\mathbb R)$ sea un conjunto con cierre compacto ; entonces cómo demostrar que $\mathcal F$ "desaparece uniformemente en el infinito", es decir, que para cada $\epsilon >0$ existe un subconjunto compacto $K$ de $X$ tal que $|f(x)|<\epsilon , \forall x \in X \setminus K , \forall f \in \mathcal F$ ?

Si $\bar X$ denota la compactación de un punto de $X$ entonces, puedo demostrar que $C_0(X , \mathbb R)$ es isométrico a un subespacio cerrado de $C(\bar X , \mathbb R)$ a saber: $M:=\{f \in C(\bar X , \mathbb R) | f(\infty)=0 \}$ donde $\{\infty\}:=\bar X \setminus X$ por lo que podemos considerar $\mathcal F$ como un subconjunto de $M$ con $cl_M \mathcal F= cl_{C(\bar X , \mathbb R)} \mathcal F$ desde $M$ está cerrado en $C(\bar X , \mathbb R)$ . De ahí que pueda concluir por Arzela-Ascoli que $\mathcal F$ está acotado puntualmente y es equicontinuo; pero no sé cómo concluir que es "uniforme y desaparece en el infinito". Por favor, ayúdenme. Gracias de antemano

Answer 1

Dejemos que $\varepsilon>0$ se le dará.

Desde $\mathcal F$ es un subconjunto relativamente compacto del espacio $\left(C_0(X, \mathbb{C}), \,|| \cdot ||_u \right)$ existe un subconjunto finito $M \subseteq \text{Cl}(\mathcal F)$ tal que
\begin{equation}\delta(\,f, M) =\underset{1\leq i\leq M}{\inf} \, ||\,f-g_i||_u < \frac{\varepsilon}{2} \end{equation} siempre que $f \in \mathcal F$ ( aquí $M$ se duplica como un número entero positivo, lo que significa que $g_i \in M$ ). Ahora, para cada función $g_i$ $(i=1, \ldots, M)$ de la colección finita $M$ existe un conjunto compacto, digamos $K_i$ tal que $|g_i(x)|<\frac{\varepsilon}{2}$ siempre que $x \in X \setminus K_i$ . Para completar la prueba a partir de aquí, te aconsejo que consideres el conjunto compacto \begin{equation}K = \bigcup_{i=1}^M \, K_i \; . \end{equation}