Todo colector complejo es un colector casi complejo

Question

Demostrar que toda colmena compleja $M$ es una variedad casi compleja, basta con demostrar que $J_p:T_pM\rightarrow T_pM$ definido por $J_p(\partial/\partial x_i)=\partial/\partial y_i$ y $J_p(\partial/\partial y_i)=-\partial/\partial x_i$ es independiente de la elección del gráfico en torno a $p\in M$ .

Pero, ¿por qué es suficiente? ¿No necesitamos demostrar que $J:TM\rightarrow TM$ ¿es suave? ¿Cómo es que la independencia de la elección de los gráficos implica la suavidad de $J$ ?

Answer 1

Dado un gráfico complejo $z_i = x_i + \sqrt{-1}y_i$ definido en un barrio $U$ de $M$ puede definir $J$ en $U$ por la fórmula que has escrito. Entonces $J$ se representa con respecto al marco suave $\frac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_n}, \frac{\partial}{\partial y_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial y_n}$ de $TM$ (sobre $U$ ) por una matriz cuyas entradas son suaves (incluso constantes) y así $J$ es suave en $U$ .

Si se demuestra que esta definición es independiente del gráfico, se puede utilizar para definir $J$ globalmente y será suave porque es localmente suave.