Hallar los ángulos de un paralelogramo sin trigonometría

Question

Me pregunto si es posible resolver para $x^{\circ}$ en términos de $a^{\circ}$ y $b^{\circ}$ dado que $ABCD$ es un paralelogramo. En particular, me pregunto si es posible resolverlo utilizando sólo "geometría elemental". No estoy seguro de lo que implica la "geometría elemental", pero estoy tratando de resolver este problema sin trigonometría.

¿Es posible? O si no lo es, ¿hay alguna forma de demostrar que no es resoluble sólo con técnicas de "geometría elemental"?

Answer 1

El ejemplo de alex.jordan termina el asunto, y se pueden construir otros similares. Tenemos un ángulo $$ \theta = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{12}} \right) $$ y queremos saber si $ x = \frac{\theta}{\pi} $ es la raíz de una ecuación con coeficientes racionales.

Bueno, $$ e^{i \theta} = \sqrt{\frac{12}{13}} + i \sqrt{\frac{1}{13}} $$ Siguiente, $\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = \frac{11}{13}.$ Así, por el Corolario 3.12 de la página 41 de NIVEN sabemos que $2 \theta$ no es un múltiplo racional de $\pi.$ Por lo tanto, tampoco es $\theta,$ y $$ x = \frac{\theta}{\pi} $$ es irracional.

Ahora, el logaritmo es multivalente en el plano complejo. Podemos elegir $$ \log(-1) = \pi i. $$ Con un verdadero $x,$ hemos elegido $$ (-1)^x = \exp(x \log(-1)) = \exp(x\pi i) = \cos \pi x + i \sin \pi x. $$ Con nuestro $ x = \frac{\theta}{\pi}, $ tenemos $$ (-1)^x = e^{i \pi x} = e^{i \theta} = \sqrt{\frac{12}{13}} + i \sqrt{\frac{1}{13}} $$ El lado derecho es algebraico.

El teorema de Gelfond-Schneider, Niven página 134, dice que si $\alpha,\beta$ son números algebraicos no nulos, con $\alpha \neq 1$ y $\beta$ no es un número racional real, entonces cualquier valor de $\alpha^\beta$ es trascendental.

Tomando $\alpha = -1$ y $\beta = x,$ que es real pero irracional. Somos ASUMIENDO que $x$ es algebraico sobre $\mathbb Q.$ La suposición, junto con Gelfond-Schneider, dice que $ (-1)^x$ es trascendental. Sin embargo, ya sabemos que $ (-1)^x = \sqrt{\frac{12}{13}} + i \sqrt{\frac{1}{13}} $ es algebraico. Este contradice la suposición. Así que $x = \theta / \pi$ es trascendental, con $ \theta = \arctan \left( \frac{1}{\sqrt{12}} \right) $

Answer 2

Permítame reformular su pregunta primero: ¿Puede el ángulo $x$ en el diagrama se exprese en términos de ángulos $a$ y $b$ utilizando únicamente la suma, la resta, la multiplicación, la división y la exponenciación, $\pi$ y números racionales auxiliares, y sin funciones trigonométricas o trigonométricas inversas? (Por ejemplo, ¿es $x$ una expresión como $(a+2b)^{3/2}$ ?)

Aquí hay pruebas contundentes de que la respuesta es no. Si $a=\frac{\pi}{2}$ y $b=\frac{\pi}{3}$ (los dos ángulos más "sencillos" con los que se puede jugar) entonces permitiéndonos acceder a la trigonometría, podemos demostrar que $$x=2\arctan\left(\sqrt{13}-2\sqrt{3}\right)=\arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$$

Así que habría que creer que esta expresión es igual a una combinación de $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{3}$ utilizando únicamente la suma, la resta, la multiplicación, la división y la exponenciación, $\pi$ y números racionales auxiliares. Lo dudo mucho. (La trascendencia de $\pi$ y $\arctan$ podría servir incluso para demostrar que no es posible, pero eso es sólo una conjetura mía).

Answer 3

En el caso $a = \pi/2$ , $x = \arccos \left( 2\,{\frac {\sin \left( b \right) }{\sqrt {4-3\, \cos^2 \left( b \right) }}} \right)$ . No es una función algebraica de $b$ porque su derivada es $\frac{dx}{db} = \frac{2}{3 \cos^2 b - 4}$ para $-\pi/2 < b < \pi/2$ y $\cos(b)$ no es una función algebraica.

Answer 4

Al tener en cuenta los triángulos ACP y ABP, donde P es el punto donde se interceptan las diagonales, tenemos, a partir de la ley de los senos $\sin{x}/\sin{a} = \sin{\theta}/\sin{b}$ , $\theta$ siendo el ángulo entre la diagonal menor y la línea AB.

Entonces $\sin{\theta} = \sin{x} \, \dfrac{\sin{b}}{\sin{a}}$ .

Ahora, observa que, en el triángulo ACP, la suma de los ángulos interiores es $\,x+a+b+\theta = 180^{\circ}$ Por lo tanto $\sin{\theta} = \sin{(x+a+b)}$ .

Por lo tanto: $\sin{x} \, \dfrac{\sin{b}}{\sin{a}} = \sin{(x+a+b)} = \sin{x} \, \cos{(a+b)} + \sin{(a+b)} \, \cos{x}$ .

Esto implica que $\cot{x} = \dfrac{\sin{b}}{\sin{a} \, \sin{(a+b)}} - \cot{(a+b)}$ .