Escribí un entrada del blog sobre esto hace algún tiempo. La respuesta es sí, pero por una cantidad ínfima que nunca se podría medir: algo así como $10^{-14}\text{ g}$ (aproximadamente) para un disco duro típico de ~1TB.
Ese valor procede de la fórmula de la energía potencial de un par de dipolos magnéticos,
$$E = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mu_1 \mu_2 \cos\theta}{r^3}$$
En mi post, estimo que un disco duro puede contener $10^{23}$ electrones en total, divididos en $10^{12}$ dominios magnéticos que están espaciados alrededor de $0.1\ \mathrm{\mu m}$ aparte. Eso significa que el momento magnético de cada uno de estos dominios es $10^{11}\mu_B$ con $\mu_B = \frac{e\hbar}{2m_e}$ siendo el Magnetón de Bohr . Si se introduce esto en la fórmula anterior, y se multiplica por 4 bajo el supuesto de que cada dominio magnético interactúa con 4 vecinos más cercanos, se acaba encontrando que la energía total no es más que $5\text{ J}$ dependiendo del valor de $\cos\theta$ . Esto corresponde, a través de $E = mc^2$ a una masa equivalente de alrededor de $10^{-14}\text{ g}$ .
Es cierto que todas estas cifras son estimaciones aproximadas de orden de magnitud, y que hay otros efectos que contribuyen en pequeña medida a la energía, pero cualquier corrección no va a cambiar esto en más de un par de órdenes de magnitud en un sentido u otro. Dado que la masa equivalente de la energía almacenada en los imanes es 17 órdenes de magnitud menos que la masa del propio disco duro, se puede decir que la diferencia es indetectable.
Por cierto, también he probado el cálculo equivalente para memoria flash en otra entrada del blog.
