He encontrado la siguiente integral sin respuesta y he intentado calcularla. Según wolframio es igual a
$$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x \, \arctan x}{x}dx=0,344608$$
Para evaluarlo, he introducido un parámetro, y he considerado la versión
$$I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos (x) \, \arctan (ax)}{x}dx$$
$$I^{\prime}(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos (x) \, x}{x(1+a^2x^2)}dx$$
$$I^{\prime}(a)=\frac{1}{a^2}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos (x) }{\frac{1}{a^2}+x^2}dx$$
$$I^{\prime}(a)=\frac{\pi}{2} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{a}}}{a}$$
$$I(a)=\frac{\pi}{2} \int_0^a \frac{e^{-\frac{1}{t}}}{t}dt$$
en el último paso, si dejamos que $a=1$ obtenemos la integral original
$$I(1)=\frac{\pi}{2} \int_0^1 \frac{e^{-\frac{1}{t}}}{t}dt$$
dejando $t=\frac{1}{t}$ la integral se convierte en
$$I(1)=\frac{\pi}{2} \int_1^{\infty} \frac{e^{-u}}{u}du$$
$$I(1)=-\frac{\pi}{2} E_{i}(-1)$$
Que coincide numéricamente con la integral original.
Podemos intentar integrar por partes la última integral
$$I(1)=\frac{\pi}{2}\left(e^{-u}\ln(u)\Big|_1^{\infty}+\int_{1}^{\infty}e^{-u}\ln(u)du \right)$$
$$I(1)=\frac{\pi}{2}\int_{1}^{\infty}e^{-u}\ln(u)du $$
