Cálculo de $\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x \, \arctan x}{x}dx$

Question

He encontrado la siguiente integral sin respuesta y he intentado calcularla. Según wolframio es igual a

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\cos x \, \arctan x}{x}dx=0,344608$$

Para evaluarlo, he introducido un parámetro, y he considerado la versión

$$I(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos (x) \, \arctan (ax)}{x}dx$$

$$I^{\prime}(a)=\int_{0}^{\infty}\frac{\cos (x) \, x}{x(1+a^2x^2)}dx$$

$$I^{\prime}(a)=\frac{1}{a^2}\int_{0}^{\infty}\frac{\cos (x) }{\frac{1}{a^2}+x^2}dx$$

$$I^{\prime}(a)=\frac{\pi}{2} \cdot \frac{e^{-\frac{1}{a}}}{a}$$

$$I(a)=\frac{\pi}{2} \int_0^a \frac{e^{-\frac{1}{t}}}{t}dt$$

en el último paso, si dejamos que $a=1$ obtenemos la integral original

$$I(1)=\frac{\pi}{2} \int_0^1 \frac{e^{-\frac{1}{t}}}{t}dt$$

dejando $t=\frac{1}{t}$ la integral se convierte en

$$I(1)=\frac{\pi}{2} \int_1^{\infty} \frac{e^{-u}}{u}du$$

$$I(1)=-\frac{\pi}{2} E_{i}(-1)$$

Que coincide numéricamente con la integral original.

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Podemos intentar integrar por partes la última integral

$$I(1)=\frac{\pi}{2}\left(e^{-u}\ln(u)\Big|_1^{\infty}+\int_{1}^{\infty}e^{-u}\ln(u)du \right)$$

$$I(1)=\frac{\pi}{2}\int_{1}^{\infty}e^{-u}\ln(u)du$$

Answer 1

Para el último: $$\int_0^a\frac{\exp(-1/t)}{t}dt\stackrel{u=1/t}=\int_{\infty}^{1/a}\frac{\exp(-u)}{1/u}\frac{-du}{u^2}=\int_{1/a}^\infty\frac{e^{-u}}{u}du$$ que puede definirse en términos de integral exponencial