Diferenciación y división sucesivas

Question

Estoy trabajando en la diferenciación sucesiva. Me he encontrado con una confusión y me gustaría que me ayudaran con el proceso de diferenciación cuando se trata de la división. Aquí está el problema que provocó mis intenciones de publicar aquí: $$y = \frac{x^2 + a}{x + a}$$ Estoy leyendo "Calculus Made Easy" de Silvanus P. Thompson y, lamentablemente, no hay ningún ejemplo de cómo debo hacerlo. Puedo encontrar $\frac{dy}{dx}$ pero parece que no puede encontrar $\frac{d^2 y}{dx^2}$ para este ejercicio. Encuentro $\frac{dy}{dx}$ haciendo esto: $$y = \frac{(x + a)(2x) - (x^2 + a)(1)}{(x + a)^2}$$ para conseguir $y = \frac{x^2 + 2xa - a}{(x + a)^2}$ . Aquí es donde estoy atascado. He tratado de realizar simplemente la misma operación en este resultado para diferenciar de nuevo, pero no está sumando. Se agradece cualquier ayuda al respecto.

Answer 1

$$ \dfrac{dy}{dx} = \frac{(x + a)(2x) - (x^2 + a)(1)}{(x + a)^2} =\dfrac{2x^2 + 2ax - x^2 - a}{(x+a)^2} = \frac{x^2 + 2xa - a}{(x + a)^2} $$ Hasta aquí todo bien.

Ahora tenemos que diferenciar de nuevo Utilizando la regla del cociente, como hiciste al encontrar $\dfrac{dy}{dx}$ . La cosa se complica, pero en este caso, se simplifica relativamente bien al final:

$$\dfrac{d^2y}{dx^2} = \dfrac{(x+a)^2(2x + 2a) - (x^2 + 2xa - a)[2(x+a)(1)]}{((x+ a)^2)^2}$$

Podemos factorizar el numerador, expandir y luego simplificar:

$$\begin{align}\dfrac{d^2y}{dx^2} & = \dfrac{2(x+a)[(x+a)^2 - (x^2 + 2xa - a)]}{(x+ a)^4} \\ \\ & = \dfrac{2[x^2 + 2ax + a^2 - x^2 - 2ax + a]}{(x+ a)^3}\\ \\ & =\dfrac{2( a^2 + a)}{(x + a)^3} \end{align}$$

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Podríamos habernos hecho los listos reescribiendo $\dfrac{dy}{dx}$ : Podemos reescribir $\dfrac{dy}{dx}$ así:

$$\begin{align} \dfrac{dy}{dx} = \frac{x^2 + 2xa - a}{(x + a)^2} & = \dfrac{x^2 + 2xa + a^2 -a -a^2}{(x+ a)^2} \\ \\ & = \dfrac{(x+a)^2 - a(a + 1)}{(x + a)^2} \\ \\ & = 1 - \dfrac{a(a + 1)}{(x + a)^2}\end{align}$$

El resultado de diferenciar el resultado (utilizando esencialmente, la regla de la potencia) sería el mismo que el dado anteriormente.