Prueba de que los coeficientes multinomiales ordinarios suben monótonamente hasta un máximo y luego disminuyen monótonamente

Question

Mientras que la mayoría de los cálculos de los coeficientes multinomiales ordinarios para el siguiente caso requieren sumas recursivas, encontré ici una solución de forma cerrada:

$$(1+x+x^2+\cdots+x^q)^L = \sum_{a \geq 0} \binom{L}{a}_q x^a,$$

donde

$$\binom{L}{a}_q = \sum_{j=0}^{\lfloor a/(q+1) \rfloor} (-1)^j \binom{L}{j} \binom{a-j(q+1)+L-1}{L-1}.$$

con $\binom{L}{a}_1 = \binom{L}{a}$ (que es el coeficiente binomial habitual) y $\binom{L}{a}_q = 0$ para todos $a > qL.$

Por la naturaleza de los coeficientes multinomiales, y evidenciado por los triángulos de Pascal generalizados, sabemos que los coeficientes suben monotónicamente hasta un máximo situado en o cerca de $a=\frac{qL}{2}$ dependiendo de la paridad de $qL.$

PREGUNTA : ¿Cómo se demuestra la afirmación anterior? Me gustaría poder demostrar, por ejemplo, que

$$\binom{L}{a+1}_q / \binom{L}{a}_q > 1 \forall a \in [0,qL/2-1]$$

y de manera similar

$$\binom{L}{a+1}_q / \binom{L}{a}_q < 1 \forall a \in [qL/2,qL].$$

¿Ideas? He intentado calcular los cocientes anteriores directamente a partir de la definición de $\binom{L}{a}_q$ arriba, pero es muy complicado y nunca soy capaz de llegar a un punto en el que pueda demostrar inequívocamente la existencia y la naturaleza de este máximo global.

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Llama a un polinomio $A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n$ unimodal si hay algún $t$ tal que para $i<j\leq t$ , $a_{i} \leq a_{j}$ y para $t \leq i < j$ , $a_{i} \geq a_{j}$ En otras palabras, los coeficientes "suben monótonamente hasta un máximo y luego disminuyen monótonamente". Llamamos al polinomio $A(x)\;$ simétrico si para todo $i$ , $a_{i} = a_{n-i}$ .

Demostraremos el siguiente lema: Si $A(x)$ y $B(x)$ son dos polinomios simétricos unimodales, entonces $A(x)B(x)$ es un polinomio simétrico unimodal. Para ver esto, primero dejemos que

$$A(x) = \sum_{i=0}^{m}a_{i}x^{i}$$

$$B(x) = \sum_{j=0}^{n}b_{j}x^{j}$$

Dejemos que $r = \lfloor m/2 \rfloor$ y $s = \lfloor n/2 \rfloor$ . Entonces, podemos reescribir los polinomios anteriores en la siguiente forma:

$$A(x) = \sum_{i=0}^{r}(a_{i}-a_{i-1})(x^{i} + x^{i+1} + \dots + x^{m-i})$$

$$B(x) = \sum_{j=0}^{r}(b_{j}-b_{j-1})(x^{j} + x^{j+1} + \dots + x^{n-j})$$

De ello se desprende que

$$A(x)B(x) = \sum_{i=0}^{r}\sum_{j=0}^{s}(a_{i}-a_{i-1})(b_{j}-b_{j-1})(x^{i} + \dots + x^{m-i})(x^{j} + \dots + x^{n-j})$$

Ahora, observe que cada término de esta suma es un polinomio simétrico y unimodal centrado en $x^{(m+n)/2}$ . Por lo tanto, la suma $A(x)B(x)$ es un polinomio simétrico y unimodal centrado en $x^{(m+n)/2}$ , según se desee.

Dado que el polinomio $(1+x+x^2 + \dots + x^q)$ es simétrica y unimodal, aplicando repetidamente este lema, se deduce que $(1+x+x^2 + \dots + x^q)^L$ es simétrica y unimodal, como se desea.

Nota: las secuencias unimodales son un tema muy estudiado en combinatoria. Si está interesado en aprender más, le recomiendo el artículo "Log-Concave and Unimodal Sequences in Algebra, Combinatorics, and Geometry" de Richard Stanley (se puede encontrar aquí). El lema y la prueba anteriores aparecen como Proposición 1 en ese documento, junto con muchas otras formas interesantes de demostrar que las secuencias son unimodales.