¿Integral dividido en partes iguales?

Question

Suponiendo que $f$ es localmente integrable en el intervalo $(a,b)$ Me gustaría demostrar que siempre es posible dividirlo en dos partes iguales en términos de áreas cerradas.

En otras palabras, me gustaría mostrar que existe $x\in[a,b]$ donde

$$\int_a^xf(x)dx=\int_x^bf(x)dx$$

Me quedé atascado componiendo una función de ayuda $h(x)=\int_a^xf(x)dx-\int_x^bf(x)dx.$ Pensé que podría ser útil, pero no sé realmente cómo podría aplicar el teorema del valor medio para demostrar que es posible encontrar un $x$ tal que $h(x)=0$ .

P.D.: Además, creo que sólo funciona en el intervalo $[a,b]$ .

Answer 1

Suponiendo la existencia de una función primitiva $\;F(x)\;$ de $\;f(x)\;$ sur $\;[a,b]\;$ es decir:

$$\;F'(x)=f(x)\;\;\forall\,x\in[a,b]\;$$ nos encontramos con que:

$$\int\limits_a^b f(x)\,dx= F(b)-F(a)$$

Ahora

$$\int\limits_a^xf(t)\,dt=F(x)-F(a)\;,\;\;\int\limits_x^bf(t)\,dt=F(b)-F(x)$$

y quieres

$$F(x)-F(a)=F(b)-F(x)\iff F(x)=\frac12\left(F(a)+F(b)\right)$$

Y esto siempre se puede solucionar.

Sin embargo, hay funciones muy traviesas que pueden ser integrables en algún intervalo y sin embargo no tienen primitiva allí, por lo que no se puede aplicar lo anterior...