Demostración de la dilatación del tiempo con muones

Question

Mirando el segundo párrafo de la página 120 aquí . ¿La vida media dada se mide en el marco de reposo del muón? Entonces el cálculo muestra que el tiempo para alcanzar el nivel del mar desde la perspectiva del muón es menor que su vida media medida en su marco de reposo. Esto explica por qué tantos llegan al nivel del mar.

Pero, ¿podríamos haber llegado a la misma conclusión calculando en cambio la vida media del muón en nuestro marco? Entonces, $\tau$ se multiplicaría por un factor de $\gamma=10$ en nuestro marco para dar un valor más que $t=7\times10^{-6}$ , explicando igualmente por qué muchos llegan al nivel del mar.

¿Estoy en lo cierto al pensar que sería más claro si $\tau$ fue etiquetada $\tau'$ en el texto, ya que tengo entendido que es la vida media medida en el marco del muón?

Answer 1

Nota de agradecimiento a dmckee : Lo que el texto llama vida media debería significar realmente vida útil.

Las vidas medias se dan siempre en el marco de reposo de la partícula, porque ¿qué otro marco se podría utilizar? Si te digo el tiempo de vida que he medido en mi marco pero no te digo el movimiento relativo entre la partícula y mi laboratorio, la información es inútil. Y como $\tau$ es el símbolo más utilizado para la vida media, es la notación estándar para decir que la vida del muón es $\tau = 2\times 10^{-6}\,\text{s}$ .

Por supuesto, podríamos haber utilizado cualquier otro marco. Como ha señalado dmckee en los comentarios, podemos medir la fracción de muones que llegan al suelo (aunque necesitamos saber cuántos muones se produjeron en la atmósfera) para obtener el tiempo de vida en nuestro marco y luego multiplicarlo por el factor de dilatación del tiempo (suponiendo que conocemos la velocidad de los muones) para encontrar el tiempo de vida en el marco de reposo de los muones, que es el número que encontrarás en las tablas de todas partes. En la práctica, esta no es probablemente una buena forma de medir los tiempos de vida; imagino que no podemos conocer muy bien el número de muones producidos en la atmósfera superior.

Los primos son un poco problemáticos, y creo que el autor debería haber utilizado primos para el marco de tierra, y no primos para el marco del muón. La razón es que si el marco del muón es el primado (como lo es en el texto), podríamos estar tentados, como dices, de llamar a su vida $\tau'$ y la vida útil medida en nuestro marco $\tau$ . Pero esto sería bastante confuso para un lector que sólo estuviera hojeando el texto en busca de la vida. Probablemente buscaría algo llamado $\tau$ cuando la vida real era de hecho $\tau'$ .

Answer 2

Mirando el segundo párrafo de la página 120 [...]

[Los muones] decaen [...] con una vida media $\tau \approx 2 \times 10^{-6}~\text{s}$ . Los muones se crean cuando los rayos cósmicos chocan con la atmósfera, y posteriormente llueven sobre la Tierra. Sin embargo, para llegar al nivel del mar, se necesitan unos $t \approx 7 \times 10^{-6}~\text{s}$ [...] los muones viajan a una velocidad $v \approx 0.99~\text{c}$ , dando $\gamma~\approx~10$ . Desde la perspectiva del muón, el viaje sólo dura $t' = t / \gamma \approx 7 \times 10^{-6}~\text{s}$

¿Es la vida media dada [...]

El valor $2 \times 10^{-6}~\text{s}$ es en realidad bastante cercana a la conocida duración media de la vida (o para abreviar: la "vida media") de los muones, que ha sido medido como $\tau \approx 2.197 \times 10^{-6}~\text{s}$ ,
y también bastante cerca de la correspondiente vida media $\approx~\text{Ln}[~2~] \times 2.197 \times 10^{-6}~\text{s} \approx 1.523 \times~10^{-6}~\text{s}$ .

medido en el marco de reposo del muón?

La duración media de la vida (y correspondientemente la vida media) es, por supuesto, un valor medio de una muestra de muchos valores individuales de duración de vida de muones individuales; en la práctica reciente una muestra de miles de millones de valores individuales; cmp http://muon.npl.washington.edu/exp/MuLan/TalksAndPresentations/MuLan2004_PRL_Submit.pdf

Para poder comparar de forma significativa estos valores individuales y ponerlos en relación unos con otros (por ejemplo, para determinar su valor medio) no es necesario que todos estos muones individuales hayan sido miembros de un marco de reposo común. (Aunque, por supuesto, la comparación se simplifica si lo son, en la práctica, al menos aproximadamente).

De hecho, para comparar la duración de la vida de cualquier muón con la duración de $1~\text{second}$ (o a la duración de un determinado número de periodos de oscilación de ciertos átomos de ceasio), o para comparar los valores individuales de duración de la vida de dos muones cualesquiera entre sí, ni siquiera es necesario que alguno muón había sido miembro de un marco de descanso. Seguramente muones circulando en un anillo de almacenamiento también se puede atribuir individualmente un valor de duración de vida.

Lo que se puede decir es que el valor de la duración de la vida de un muón individual se atribuye específicamente a este muón, como su duración desde que se indica su producción hasta que se indica su decaimiento; caracteriza a este muón correctamente .

¿Estoy en lo cierto al pensar que sería más claro si $\tau$ fue etiquetada $\tau'$ en el texto en su lugar

Si el primo ( $'$ ) se supone que denota cantidades que se atribuyen propiamente al muón (en lugar de, por ejemplo, al constituyente de la atmósfera, o al constituyente de la superficie de la Tierra) entonces: sí.