¿Por qué una función satisface ciertas condiciones es una norma?

Question

Dejemos que $E$ un espacio lineal normado sobre $\mathbb{R}$ y $n:E\to \mathbb{R}_+$ una aplicación tal que: $n(x)=0\Leftrightarrow x=0$ , $n(\alpha x)= |\alpha|n(x)$ y el conjunto $$A=\{ x\in E:n(x)\leq 1\}$$ es convexo. Entonces tenemos que demostrar que $n$ define una norma.

Mi enfoque: Es suficiente para demostrar que satisface la desigualdad del triángulo. Para $x$ y $y$ en $A$ con norma igual a 1 tengo que demostrar el resultado. ¡¡¡Mi problema es generalizar!!!

¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Dejemos que $x,y\in E$ . Si $x=0$ por $y=0$ entonces está claro que $n(x+y)\leq n(x)+n(y)$ ya que $n(0)=0$ por lo que podemos suponer que $x\neq 0$ y $y\neq 0$ .

Ahora, le $x'=x/n(x)$ y $y'=y/n(y)$ . Tenga en cuenta que $n(x')=n(y')=1$ Así que $x',y'\in A$ . Para cada $0\leq t\leq 1$ , $tx'+(1-t)y'\in A$ desde $A$ es convexo. Esto significa que $n(tx'+(1-t)y')\leq 1$ y por lo tanto, $$ n\left(\frac{tx}{n(x)}+\frac{(1-t)y}{n(y)}\right)\leq 1 $$ . Elija $t=\frac{n(x)}{n(y)+n(x)}$ . Tenga en cuenta que $0<t<1$ y que $1-t=\frac{n(y)}{n(y)+n(x)}$ por lo que podemos sustituir este valor en la última ecuación para obtener $$ n\left(\frac{x}{n(x)+n(y)}+\frac{y}{n(x)+n(y)}\right)\leq 1 $$ El lado izquierdo es igual a $\frac{n(x+y)}{n(x)+n(y)}$ por lo que esta desigualdad es equivalente a la desigualdad del triángulo para $n$ .