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Ejemplos de avance mediante buenas definiciones

En mi investigación me encontré con un caso en el que podía derivar un teorema conocido de forma bastante sencilla eligiendo definiciones "no estándar" utilizando mis conocimientos de un campo relacionado. Este caso en particular no parece ser interesante para un público más amplio, pero me imagino que hay casos en los que el verdadero quid está en las definiciones y las deducciones posteriores son sólo "la necesidad" de establecer algunos resultados. Al fin y al cabo, las buenas definiciones "comprimen" el conocimiento previo de forma sucinta y suelen facilitar el trabajo posterior.

Esto motiva a preguntarse si hay ejemplos concretos en los que el verdadero progreso está en las definiciones y los siguientes resultados (potencialmente interesantes) son sólo una ilustración del poder de la(s) definición(es).

8voto

harris Puntos 1

He aquí una respuesta que se interpone entre las de Piero y Nati.

En su tesis doctoral, Grothendieck introdujo la noción de nuclear espacio vectorial topológico. Esencialmente, es la definición correcta de espacio de dimensión infinita "similar a la finita" . En concreto, todos los teoremas del álgebra multilineal y de la probabilidad que son válidos para los espacios de dimensión finita también lo son verbatim para los espacios nucleares. Aunque esto es una especulación por mi parte, sospecho que una cosa que Grothendieck aprendió de Laurent Schwartz es lo poderosa que puede ser una idea matemática una buena definición, por ejemplo, la definición de distribución. Sin embargo, esta teoría habría sido bastante limitada si no fuera por la segunda definición de espacios nucleares que Grothendieck proporcionó. Luego repitió este truco una y otra vez en la geometría algebraica, y el resto es historia.

7voto

Summer Puntos 518

La definición de Karol Borsuk de un repliegue (1931), motivada inicialmente por investigaciones relativas a la propiedad de punto fijo de ciertos espacios métricos compactos, dio lugar al desarrollo de la teoría de los repliegues y a algunas generalizaciones de gran alcance en la teoría de grupos y categorías, véase https://en.wikipedia.org/wiki/Retract y https://en.wikipedia.org/wiki/Retraction_(desambiguación) .

7voto

knuton Puntos 865

La definición de una fibración de Serre es, con mucho, mi ejemplo favorito. En ella, si no recuerdo mal, los líderes del campo buscaban activamente la definición correcta y sabían que "conduciría rápidamente a la propiedad de elevación". La definición de Serre fue ¡la propiedad de elevación - "rápidamente" se convirtió en ningún momento, por definición! (Lo siento, no recuerdo y ahora no puedo encontrar la referencia exacta de esa cita aproximada).

6voto

Pi. Puntos 2004

En un ámbito más aplicado: La definición de funciones convexas extendidas de valor real (en lugar de funciones convexas definidas en un conjunto convexo) y su subgradientes (en lugar de, por ejemplo, las derivadas direccionales) ha hecho avanzar bastante el campo del análisis convexo y la optimización convexa. Además, la noción de semicontinuidad inferior es realmente útil en este campo.

1voto

Joe Freeman Puntos 133

Si buscas en la literatura, hay múltiples diferentes definiciones de Dominio euclidiano . Muchas de las diferencias tienen que ver con la definición de la norma euclidiana en cero. La gente parece innecesariamente reacia a la idea de que el cero debe tener la norma más grande (lo que corresponde al hecho de que en la red invertida de ideales en un anillo, el ideal cero está en la parte superior), y por lo tanto la imagen de una norma euclidiana no debe restringirse a $\mathbb{Z}_{\geq 0}$ .

En la obra inédita de Lenstra Conferencias sobre anillos euclidianos Si se utiliza este tipo de ordenación, se demuestra que la "norma mínima" en un dominio euclidiano es logarítmicamente superaditiva (véase el corolario 2.5). Muchas otras propiedades y resultados naturales se derivan de esta definición más natural.

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