Ejemplos de avance mediante buenas definiciones

Question

En mi investigación me encontré con un caso en el que podía derivar un teorema conocido de forma bastante sencilla eligiendo definiciones "no estándar" utilizando mis conocimientos de un campo relacionado. Este caso en particular no parece ser interesante para un público más amplio, pero me imagino que hay casos en los que el verdadero quid está en las definiciones y las deducciones posteriores son sólo "la necesidad" de establecer algunos resultados. Al fin y al cabo, las buenas definiciones "comprimen" el conocimiento previo de forma sucinta y suelen facilitar el trabajo posterior.

Esto motiva a preguntarse si hay ejemplos concretos en los que el verdadero progreso está en las definiciones y los siguientes resultados (potencialmente interesantes) son sólo una ilustración del poder de la(s) definición(es).

Answer 1

No estoy seguro si esto califica ya que es toda una teoría, pero la teoría de la distribución es en esencia la consecuencia de una definición particularmente bien elegida.

Answer 2

Un buen ejemplo es la definición de esquema por Grothendieck. Los intentos anteriores (por ejemplo, "Foundations of Algebraic Geometry" de André Weil) eran extremadamente complicados en comparación y no tenían ni la mitad de las buenas propiedades.

Grothendieck tomó básicamente la correspondencia entre las variedades afines clásicas y las álgebras libres de nilpotencia generadas finamente sobre un campo (dadas por la toma de ideales máximos) y empezó a quitar adjetivos... Llevándolo hasta las últimas consecuencias, el resultado final fue una teoría de los espacios geométricos que localmente "se parecen" al álgebra conmutativa (compárese: los manifiestos diferenciales localmente "se parecen" al cálculo). Esta teoría:

1. Tiene mucho sentido geométrico una vez que se superan algunas rarezas iniciales (¿puntos incrustados? ¿en serio?)
2. Une teoría de números, anillos conmutativos y geometría algebraica.
3. Proporciona una base rigurosa a los métodos clásicos de los geómetras algebraicos italianos del siglo XIX.

Por ejemplo, existe una teoría de las degeneraciones realmente buena (de hecho, ¡mucho mejor que la de las variedades complejas!) porque tenemos infinitesimales concretos -en el modelo local, son en realidad los elementos nilpotentes de su anillo.

Answer 3

Otros ejemplos son la "familia normal" en la teoría de las funciones analíticas (Montel) y su generalización al resto de las matemáticas, "conjunto compacto" (Aleksandrov y Uryson).

Estos ejemplos son realmente abundantes: El espacio de Hilbert, el espacio de Banach, la medida armónica, la definición de todas estas cosas realmente condujo a nuevas áreas de investigación y revolucionó las áreas existentes.

Por ejemplo, de las áreas distintas al Análisis, permítanme mencionar los "ideales" definidos por Dedekind. Esta definición realmente condujo a nuevas formas de pensar en muchas áreas de las matemáticas.

Algunos ejemplos recientes llamativos son los "fractales" y los "atractores". Sin duda, no hay definiciones matemáticas estándar de estas cosas y pertenecen a un área más amplia de la ciencia y no sólo a las matemáticas. Lo que probablemente los hace aún más influyentes.

EDITAR. Definición. Una definición se llama buena si conduce a un progreso en las matemáticas:-)

Ejemplos: función subarmónica, mapa conforme, mapa cuasiconforme, superficie de Riemann, colector, métrica riemanniana, grupo, espacio vectorial, ... y todos los ejemplos anteriores.

Answer 4

Manjul Bhargava definió el concepto de $p$ -ordenando de un subconjunto de un anillo Dedekind, donde $p$ es un primo. En el caso de $S\subseteq \mathbb{Z}$ la definición es la siguiente. Sea $a_0\in S$ sea arbitraria, y para $i>0$ , dejemos que $a_i$ sea cualquier elemento de $S$ que minimiza la mayor potencia de $p$ dividiendo $$(a_i - a_0)(a_i - a_1) \cdots (a_i - a_{i-1}).$$ Enunciar esta definición nos lleva casi automáticamente a examinar la secuencia de potencias máximas que surgen, y el teorema fundamental del tema es que esta secuencia de potencias máximas es independiente de la elección de $p$ -ordenación. Este teorema condujo rápidamente a un enorme progreso en algunas cuestiones difíciles y de larga data sobre mapeos polinómicos en subconjuntos de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y también condujo a una noción generalizada de factoriales cuya teoría es un tema de investigación en curso.

Answer 5

La definición de especie combinatoria, debida a Joyal y desarrollada en un libro de Bergeron, Labelle y Leroux, hace que la enumeración y también el cálculo del carácter de Frobenius de una acción de permutación sean a menudo triviales.

Más centrada, la principal observación es que el plexo de funciones simétricas (o, si se prefiere, la composición de funtores polinómicos) tiene una "categorización" muy natural en términos de composición de estructuras combinatorias.

Como ejemplo de juguete, para ilustrar lo anterior, la frase

Una coincidencia perfecta es un conjunto de conjuntos de dos elementos

se convierte en un teorema con corolarios inmediatos

La función generadora exponencial de coincidencias perfectas es $\exp(x^2/2)$ .

y

El carácter de Frobenius de la secuencia de representaciones de permutaciones dadas por el grupo simétrico que actúa sobre los emparejamientos perfectos es el plethysm $\sum_n h_n\circ h_2$ .

Está claro que todo esto ya se sabía antes, por los expertos. Sin embargo, la definición "combinatoria" de pletismografía (y producto escalar) convierte los rompecabezas que originalmente no eran obvios en ejercicios relativamente sencillos, y sus soluciones son fácilmente adaptables a problemas similares.