He oído que la mayoría de las funciones elementales no tienen antiderivadas elementales. ¿Existe un significado preciso de la frase anterior, y si es así, puedo ver un artículo donde se demuestre la versión precisa de esa afirmación?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La respuesta depende de lo que sea una función "elemental". La frontera entre una lista de funciones llamadas "elementales" y la infinidad de otras funciones es bastante arbitraria. Y aún más entre una lista de funciones llamadas "especiales" y las demás.
Un enfoque trivial para abordar el problema sería hacer una lista de funciones "elementales" y para cada una de ellas expresar la antiderivada cuando sea posible. A continuación, comparar el número de antiderivadas que están incluidas en la lista de funciones elementales y el número de las que no están en la lista o no se han encontrado.
Una cuestión similar se plantea para las antiderivadas de las funciones "especiales". Se trata de un problema de alto nivel que implica el teorema de Liouville y las relaciones con la teoría de Gallois. Sin ir tan lejos, un artículo de revisión para el público en general publicado en Scribd se refiere a las funciones elementales cuyas antiderivadas no son elementales, sino que son funciones especiales y aún más, están en el origen de la definición de nuevas funciones especiales : http://fr.scribd.com/doc/14623310/Safari-on-the-country-of-the-Special-Functions-Safari-au-pays-des-fonctions-speciales
