Resuelve la ecuación del plano de fase para obtener las curvas integrales del sistema:

Question

Resuelve la ecuación del plano de fase para obtener las curvas integrales del sistema:

$$\begin{align*}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}&=2y-x\\\frac{\mathrm dy}{\mathrm dt}&=e^x+y\end{align*}$$

Es para un trabajo de nivel 200; ecuaciones diferenciales. Lo importante de esta pregunta es que es no lineal. Así que no puede usar métodos lineales. Probará con una matriz jacobiana y verá si eso da algo útil. Su libro de texto también dice que tal vez podría cambiarlo a coordenadas polares, pero eso no parece ayudar.

Answer 1

La ecuación del plano de fase para las curvas integrales es

$$\def\part#1#2{\frac{\mathrm d#1}{\mathrm d#2}} \part yx=\frac{\part yt}{\part xt}=\frac{\mathrm e^x+y}{2y-x}\;.$$

Para entenderlo, ayuda a ampliar el equilibrio. En el equilibrio, $\part xt=2y-x=0$ y por lo tanto $y=x/2$ por lo que podemos escribir $y=x/2+z$ con $y'=1/2+z'$ . Sustituyendo esto en la ecuación diferencial para $y$ rinde

$$ \begin{align} \frac12+z' &=\frac{\mathrm e^x+\frac x2+z}{2(\frac x2 + z)-x}\\ &=\frac{\mathrm e^x+\frac x2+z}{2z}\;,\\ z' &=\frac{\mathrm e^x+\frac x2}{2z}\;,\\ 2zz' &=\mathrm e^x+\frac x2\;,\\ z^2 &=\mathrm e^x+\frac {x^2}4+C\;,\\ z &=\pm\sqrt{\mathrm e^x+\frac {x^2}4+C}\;,\\ y &=\frac x2\pm\sqrt{\mathrm e^x+\frac {x^2}4+C}\;. \end{align}$$