$|G|>2$ implica $G$ tiene un automorfismo no trivial

Question

Bueno, este es un problema de ejercicio de Herstein que parece difícil:

• ¿Cómo se demuestra que si $|G|>2$ entonces $G$ tiene un automorfismo no trivial?

Lo único que conozco que relaciona un grupo con su automorfismo es el teorema $$G/Z(G) \cong \mathcal{I}(G)$$ donde $\mathcal{I}(G)$ denota el Grupo de automorfismo interno de $G$ . Así que para un grupo con $Z(G)=(e)$ podemos concluir que tiene un automorfismo no trivial, pero ¿qué pasa con los grupos con centro?

Answer 1

Si $G$ no es abeliano, entonces la conjugación por un elemento no central será suficiente.

Si $G$ es abeliano, entonces $x\mapsto x^{-1}$ es un automorfismo. Será no trivial a menos que cada elemento de $G$ es igual a su inversa, es decir, si cada elemento de $G$ es de exponente $2$ .

Si cada elemento de $G$ es de exponente $2$ entonces $G$ es un espacio vectorial sobre el campo de $2$ elementos, por lo que es isomorfo a una suma (posiblemente infinita) de copias de $C_2$ el grupo cíclico de dos elementos. Dado que $|G|\gt 2$ hay al menos dos copias, por lo que la transformación lineal que intercambia dos copias de $C_2$ es un automorfismo no trivial.

Answer 2

Las otras dos respuestas suponen el axioma de elección:

• Arturo Magidin utiliza la elección cuando forma la suma directa ("...es isomorfa a una suma (posiblemente infinita) de copias de $C_2$ ...")
• HJRW utiliza la elección cuando fija una base (la prueba de que todo espacio vectorial tiene una base requiere el axioma de elección).

Si no asumimos el axioma de elección entonces es consistente que existe un grupo $G$ de orden superior a dos tal que $\operatorname{Aut}(G)$ es trivial. Esto se explica en esta respuesta de Asaf Karagila.