Subgrupo no normal de $Q_8 \times Z_4$

Question

Este problema del libro Dummit y Foote "Álgebra abstracta":

Exponer el subgrupo no normal de $Q_8 \times Z_4.$

Dejemos que $q \in Q_8$ y $z \in Z_4.$ Dejemos que $N$ sea un subgrupo no normal de $Q_8 \times Z_4 $ . Entonces existe $g \in Q_8 \times Z_4$ y $n=(q_n,z_n) \in N$ tal que $g^{-1}n g = (q^{-1},z^{-1}) (q_n,z_n) (q,z)=(q^{-1}q_nq,z^{-1}z_nz) \notin N.$ Por otro lado todo subgrupo de $Q_8$ y todo subgrupo de $Q_8$ son normales.

Me tropiezo con este problema.

Answer 1

Considere $N = \langle (i,1)\rangle$ que es cíclico de orden $4$ :

$(i,1)^2 = (-1,2)\\(i,1)^3 = (-i,3)\\(i,1)^4 = (1,0).$

Ahora $(j,0)(i,1)(j,0)^{-1} = (jij^{-1},0+1-0) = (ji(-j),1)$

$= ((-k)(-j),1) = (kj,1) = (-i,1) \not\in N$ .