Me gustaría demostrar que $$\frac{\sin(x)}{1+|x|}$$ no es integrable de Lebesgue demostrando que no es absolutamente integrable de Riemann.
Para ello, dejemos que $\epsilon >0$ sea lo suficientemente pequeño, por ejemplo $\epsilon = \frac{\pi}{n}$ para algunos $n \in \mathbb{N}$ grande.
Entonces, en $[\epsilon + k\pi,(k+1)\pi-\epsilon]$ , $|\sin(x)|$ alcanza un mínimo positivo, digamos $\alpha >0$ .
Así,
\begin{align*}\int_{-R\pi}^{R\pi} \left|\frac{\sin(x)}{1+|x|} \right| dx &\geq \alpha \int_{0}^{R\pi} \left|\frac{1}{1+x} \right| dx \\ & \geq \alpha \sum_{k=0}^{R-1} \int_{\epsilon + k\pi}^{(k+1)\pi-\epsilon} \left|\frac{1}{1+x} \right| dx \\ &= \alpha \sum_{k=0}^{R} \left [\log((k+1)\pi -\epsilon)) - \log(\epsilon + k\pi)\right] \end{align*}
y por lo tanto \begin{align*} \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \left|\frac{sin(x)}{1+|x|} \right| dx &\geq \alpha \pi\left(\lim_{R \to \infty} \sum_{k=0}^{R} \left [\log((k+1)\pi -\epsilon)) - \log(\epsilon + k\pi)\right]\right) \\ &= \alpha \pi\left(\lim_{R \to \infty} \log((R+1)\pi -\epsilon))-\log(\epsilon)\right) \\ &= \infty \end{align*}
¿Es una prueba válida? Obsérvese el factor adicional de $\pi$ debido al cambio de variables $y=x\pi$ al principio para facilitar la anotación.
