Para responder a tu pregunta de cómo saber cuántas soluciones hay y cómo encontrarlas todas: Llevando la cuenta de tus pasos y asegurándote de no añadir nunca soluciones extrañas y de que todos tus pasos son reversibles uno a uno para no perder ni añadir soluciones.
Así que $\frac {3^x + 2^x}{3^x -2^x} = 7$ nos da la condición de que $3^x \ne 2^x$ .
Sustituir $a =3^x$ y $b=2^x$ . Esto es sólo una sustitución. Pero perdemos temporalmente toda la información que podamos tener sobre $3^x, 2^x$ . Pero no hay que preocuparse, ya que recuperaremos la información.
$\frac {a+b}{a-b} = 7\implies a+b = 7(a-b)$ . Esto añade una solución extraña en la que $a = b$ que sabemos que no puede ocurrir. (En realidad, esta es parte de la información que perdimos al sustituirla. Sabemos que $2^x, 3^x > 0$ así que $2^x + 3^x > 0$ así que $a-b =0$ no es posible... vale no nos preocupemos. Tendremos que seguir la pista $a \ne b$ .
$8b = 6a$ sólo añadiendo a cada lado. Completamente reversible. Esto no afecta a nuestras soluciones.
$4b = 3a$ Lo mismo digo. Esto es una restricción.
$4\cdot 2^x = 3\cdot 3^x$
$2^{x+2} = 3^{x+1}$ . Sabemos que ya se trata de $a,b$ por lo que el caviet $a\ne b$ ya no es una preocupación.
$\ln 2^{x+2} = \ln 3^{x+1}$ . Como $\ln$ es uno a uno esto mantiene el número de soluciones igual.
$(x+2)\ln 2 = (x+1)\ln 3$ El cambio lineal no afecta a nada así que
$x(\ln 2 - \ln 3) = (\ln 3 -2\ln 2)=(\ln 3-\ln 4)$ . Como $\ln 2-\ln 3$ es una constante y $\ln 2 \ne\ln 3$ podemos dividir ambos lados y eso no afecta al número de soluciones.
Y $x -\frac {\ln 3 - \ln 4}{\ln 2-\ln 3}$ .
Nada de lo que hicimos perdió ninguna solución y lo único que añadió una solución extraña se solucionó solo.
Así que conozca esta es la única solución.
BTW $\frac {\ln 3-ln 4}{\ln 3- \ln 2} = \frac {\ln \frac 34}{\ln \frac 32}$ o $\frac {\ln 3 -2\ln 2}{\ln 3 - \ln 2} = 1 -\frac {\ln 2}{\ln 3 - \ln 2}= 1-\frac {\ln 2}{\ln \frac 32}$
Si es ayuda a (probablemente no lo haga) $\frac {\ln \frac 34}{\ln \frac 32} =\log_{\frac 32} \frac 34=\log_{\frac 32} \frac 32\cdot \frac 12 = 1 - \log_{\frac 32} 2$
