¿Cómo encontrar la derivada del mapa del conmutador?

Question

Dejemos que $f : \mbox{GL}_n(\mathbb R) \to \mbox{GL}_n(\mathbb R)$ se define por $$f(X) = K X K^{-1} X^{-1}$$ donde $K$ es una matriz invertible. Cómo encontrar la derivada de $f$ ?

¿Puedo utilizar aquí la regla de diferenciación del producto de la siguiente manera?

$$f'(X)=KX'K^{-1}X^{-1}+KXK^{-1}(X^{-1})'$$

¿Estoy en lo cierto? Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

La derivada viene dada por:

$$\frac{\partial}{\partial X} KXK^{-1}X^{-1} = \big((K^{-1}X^{-1})^T\otimes K\big) - \big((Y^{-1})^T\otimes KXK^{-1}X^{-1}\big)$$

Utilizando las reglas $\partial(\mathbf{X} \mathbf{Y})=(\partial \mathbf{X}) \mathbf{Y}+\mathbf{X}(\partial \mathbf{Y})$ , $\frac{\partial K X}{\partial X}=I\otimes K$ y $\frac{\partial X^{-1}}{\partial X}=-X^{-T}\otimes X^{-1}$

Véase. libro de cocina matrix y http://www.matrixcalculus.org/

Por otra parte, utilizando el enfoque de Gabriels da:

$$\begin{aligned} f(X+H) &= K(X+H)K^{-1}(X+H)^{-1} \\ &= K(X+H)K^{-1}(I-X^{-1}H)^{-1}X^{-1} \\ &\sim f(X) + KHK^{-1} X^{-1} - KXK^{-1} X^{-1} H X^{-1} \end{aligned}$$

como la aproximación de Taylor de primer orden. Obsérvese que ambas son equivalentes porque

$$ f(X+H)\sim f(X) + f'(X)\cdot H $$

y aquí

$$\begin{aligned} f'(X)\cdot H &= \big((K^{-1}X^{-1})^T\otimes K\big) - \big((X^{-1})^T\otimes KXK^{-1}X^{-1}\big)\cdot H \\ &= KHK^{-1} X^{-1} - KXK^{-1} X^{-1} H X^{-1} \end{aligned}$$

ya que en este caso la contracción tensorial " $\cdot$ " funciona como $(U\otimes V) \cdot H = VHU^T$ donde en el lado derecho es una multiplicación matricial regular. Esto se puede ver mirando la notación del índice, cf. por respuesta aquí Cómo conciliar estas dos fórmulas de Jacobi )