Condiciones para que el determinante sea cero

Question

Tenemos $3$ líneas con ecuaciones $a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}=0$ , $i=1,2,3$ . Quiero demostrar que $\det ((a_{ij}))=0$ si las líneas son paralelas o tienen un punto común.

Tenemos que $\det ((a_{ij}))=0$ si tenemos una fila cero. Eso significaría que tenemos dependencia lineal de las filas, por lo que la dependencia lineal de las líneas. ¿Eso significa que algunas líneas son paralelas o no?

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EDITAR:

Supongamos que el determinante es cero, lo que significa que las filas son linealmente dependientes. (Los elementos de las filas son los coeficientes de una recta en forma normal de Hesse, $a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}=0$ .)

Así, tenemos que por ejemplo $(a_{11},a_{12},a_{13})=\kappa\,(a_{21},a_{22},a_{23})+\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})$ . Quiero demostrar que si el determinante es cero entonces las rectas son paralelas o tienen un punto de intersección.

Si uno de $\kappa$ o $\lambda$ es igual a cero, por ejemplo $\kappa$ entonces tenemos que $(a_{11},a_{12},a_{13})=\lambda\,(a_{31},a_{32},a_{33})$ . Esto significa que el vector normal de la primera línea $(a_{11}, a_{12})$ es un múltiplo de la otra, por lo que son paralelas, y por lo tanto las líneas también son paralelas, ¿verdad? Pero esto vale sólo para dos líneas, no para las tres, ¿o no?

¿Tenemos que tomar también el caso de que $\kappa, \lambda \neq 0$ ?

¿O este enfoque es erróneo?

Answer 1

Se puede suponer que el espacio afín $\mathbb{R}^2$ es el subconjunto de $\mathbb{R}^3$ sobre definido por $\{(x,y,1),x,y\in \mathbb{R}\}$ . Con esta identificación, $D_i:a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}=0$ es la intersección de $P_i:a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z=0$ con $\{(x,y,1)\}$ . $P_i$ es el núcleo de $l_i(x,y,z)=a_{i1}x+a_{i2}y+a_{i3}z$ . Obsérvese que $P_1\cap P_2\cap P_3$ es el núcleo del mapa lineal definido por $A=(a_{ij})$ . $det(a_{ij})=0$ equivale a decir que el núcleo de $A$ no es trivial, su dimensión es 1, o 2. (Supongo que al menos una línea $D_i$ se define).

Si la dimensión de $ker(A)=2$ es equivalente a que $P_1\cap P_2\cap P_3$ es un plan y $P_1=P_2=P_3$ esto implica que $D_1=D_2=D_3$ .

Si la dimensión de $ker(A)=1$ . Si la intersección de $ker(A)$ y $\{(x,y,1)\}$ no está vacío. Es un punto que es un elemento de $D_1\cap D_2\cap D_3$ .

Supongamos que $dim(ker(A))=1$ $ker(A)\cap\{(x,y,1)\}$ está vacío esto implica que $ker(A)$ es generado por un elemento de la forma $(a,b,0)$ . Sea $u_i,v_i$ dos puntos distintos de $D_i$ , $u_i-v_i$ es un vector de $ker(A)$ ya que su tercera coordenada es cero. Esto implica que $D_1,D_2,D_3$ son paralelos entre sí.