proyección vectorial sobre un plano

Question

Estoy aprendiendo Álgebra Lineal en mi tiempo libre. Actualmente estudio las proyecciones. Entiendo toda la derivación, pero hay una parte que me molesta.

Digamos que tengo una matriz $A$ que representa un plano en $3D$ (la matriz tiene 2 columnas y 3 filas), $b$ es un vector que intento proyectar en un plano, $p$ es su proyección y $e$ (error) es el vector normal al plano, $e = b - p$

Dado que $e$ es normal al plano entonces es normal a todo vector del plano, lo que significa que el producto interior con cualquier vector del plano es 0, es decir $A^Te = 0$ sustituyendo $e = b - p$ obtenemos $$ A^T(b - p)= 0 $$ $$ A^Tb - A^Tp = 0 $$ $$ A^Tb = A^Tp $$ $$ b = p $$

Mi derivación muestra claramente que la proyección es igual al vector que se proyecta, pero geométricamente no es así. ¿Qué me falta?

Answer 1

Usted afirma que $(A^Tb = A^Tp) \Rightarrow (b=p)$ . Esto no es cierto.

Por ejemplo, dejemos $A = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ . Esto tiene dos columnas y tres filas como se requiere.

Dejemos que $b = \begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix}, c = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}$ . Claramente $b \neq c$ .

Sin embargo, $A^Tb = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 \\ 1\\ 2\end{pmatrix} = A^Tc$ .

Intuitivamente esto sucede porque $b, c$ son vectores en $\mathbb{R}^3$ pero $A^Tb, A^Tc$ son vectores en $\mathbb{R}^2$ lo que significa que se "pierde información" en la proyección.