Diferencia conceptual entre las formulaciones fuertes y débiles

Question

¿Cuáles son las diferencias conceptuales al presentar un problema en forma fuerte o débil? Por ejemplo, para un problema de Poisson en 2D la forma fuerte es:

$$\begin{split}- \nabla^2 u(\pmb{x}) &= f(\pmb{x}),\quad \pmb{x}\mbox{ in } \Omega, \\ u(\pmb{x}) &= u_0(\pmb{x}),\quad \pmb{x}\mbox{ on } \partial \Omega\thinspace .\end{split}$$

donde $\Omega$ es el dominio espacial y $\partial\Omega$ es el límite de $\Omega$ .

La formulación variacional o débil: $$\begin{equation} \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, \mathrm{d}x = \int_{\Omega} fv \, \mathrm{d}x \quad \forall v \in \hat{V}.\ \end{equation}$$

donde $\hat{V}$ es el espacio de prueba y $V$ es el espacio de prueba:

$$\begin{split}\hat{V} &= \{v \in H^1(\Omega) : v = 0 \mbox{ on } \partial\Omega\}, \\ V &= \{v \in H^1(\Omega) : v = u_0 \mbox{ on } \partial\Omega\}\thinspace .\end{split}$$

Sé que la forma débil es muy útil en el método de los elementos finitos, pero no entiendo por qué. El página de wikipedia dice que el problema requiere una solución en el sentido de una distribución. ¿Qué significa esto? ¿Por qué se llaman fuertes y débiles? ¿Cuál es la intuición detrás de estas formulaciones?

Gracias.

Answer 1

Si decimos que una solución es débil/estridente/clásico/viscoso , se trata de los siguientes aspectos (o más):

1. Cómo obtenemos la solución.

2. La regularidad de la solución (cómo de suave es esta solución, integrabilidad, diferenciabilidad).

3. La solución satisface la ecuación en qué sentido.

---

Solución débil :

1. Podemos obtener la solución mediante la formulación de Ritz-Galerkin: encontrar el minimizador del siguiente funcional cuadrático en un espacio de Hilbert apropiado, $$\mathcal{F}(u) = \frac{1}{2}\int_{\Omega} |\nabla u|^2 - \int_{\Omega} fu.$$

2. La suavidad depende de los datos del lado derecho. Si el $f\in H^{-1}$ entonces $u\in H^1$ . Si $f\in L^2$ entonces $u\in H^2_{loc}$ . Además, si $\Omega$ es $C^{1,1}$ tenemos un $H^2$ -solución $u$ globalmente.

3. La solución satisface la ecuación en sentido de distribución (véase la siguiente explicación).

---

Por qué "débil":

El término "débil" se refiere normalmente a la 2 y 3: La solución $u$ es sólo en $H^1$ en la configuración más general, esto significa que $u$ es la única diferenciable una vez, observe $-\Delta$ tiene la segunda derivada parcial. La solución fuerte, sin embargo, sí tiene doble diferenciabilidad, normalmente si decimos $u$ es una solución fuerte, queremos decir que $u$ tiene $W^{2,p}$ -regularidad (Consulte a Gilbarg y Trudinger). La solución satisface la ecuación sólo en la formulación "débil" $$\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \, dx = \int_{\Omega} fv \, dx \quad \forall v \in V, \tag{1}$$ donde $V$ es un espacio de Sobolev determinado.

Dos maneras de obtener esta forma débil: la primera es escribir qué condición tiene el minimizador de $\mathcal{F}(u)$ debe cumplir: si $u$ es un minimizador, entonces $$\lim_{\epsilon \to 0}\frac{d}{d\epsilon} \mathcal{F}(u+\epsilon v) =0$$ y la forma débil de la ecuación de Euler-Lagrange es (1).

Otra es multiplicar la ecuación original por una función de prueba y luego integrar por partes. La intuición detrás de esto debe ser el teorema de representación de Riesz (al menos para mí tiene sentido), tenemos: $$\langle (-\Delta)u,v\rangle = l_u(v) = (u,v)_{V},$$ del operador diferencial $-\Delta$ $\to$ funcional lineal $l_u$ $\to$ representación mediante el producto interior $(\cdot ,\cdot)_V$ . El producto interior $(\cdot ,\cdot)_V$ en este espacio de Hilbert $V$ es el lado izquierdo de (1), si hacemos que el espacio de la función de prueba tenga una condición de contorno nula (Podemos utilizar la desigualdad de Poincaré para demostrar la equivalencia de la norma $H^1$ -producto interior). Si has hecho algún curso de EDP numérica en elementos finitos, el profesor te presentará el teorema de Lax-Milgram, y Lax-Milgram se basa en Riesz.

---

Por qué la forma débil es útil en el método de elementos finitos:

Respuesta corta: La forma débil es muy útil porque nos ayuda a formular un sistema de ecuaciones lineales que se puede resolver por ordenador.

Respuesta larga: Lo esencial de la aproximación tipo Galerkin es que estamos explotando el hecho de que el espacio de Hilbert de dimensión infinita tiene un conjunto de bases $\{\phi_i\}_{i=1}^{\infty}$ si podemos ampliar el $u$ en esta base: $$u = \sum_{i=1}^{\infty} u_i\phi_i,$$ donde $u_n$ es un número, volviendo a enchufar (1), y que la función de prueba $v$ recorrer todos los $\phi_j$ (misma función, distinto subíndice): $$\int_{\Omega} \nabla (\sum_{i=1}^{\infty} u_i\phi_i) \cdot \nabla \phi_j \, dx =\sum_{i=1}^{\infty} u_i \int_{\Omega} \nabla \phi_i \cdot \nabla \phi_j \, dx = \int_{\Omega} f\phi_j \, dx \quad \forall j =1,2,\ldots. \tag{2}$$ Tenemos un sistema de ecuaciones lineales de dimensión infinita: $$AU = F,$$ donde $A_{ji} = \displaystyle\int_{\Omega} \nabla \phi_i \cdot \nabla \phi_j \, dx$ , $U_i = u_i$ y $F_j = \displaystyle\int_{\Omega} f\phi_j\, dx$ .

El método de los elementos finitos elige esencialmente un de dimensiones finitas subespacio $V_h\subset V$ (puede no ser un subespacio, por favor, busque en Google el método de Galerkin discontinuo), de modo que aproximamos la solución en este subespacio de dimensión finita $V_h$ ¡! La suma en (2) ya no tiene un límite superior infinito, sino que hay un número finito de $\phi_i$ y $v$ corre de $\phi_1$ a $\phi_N$ para que el sistema lineal generado siga siendo $AU = F$ pero esta vez, sólo tiene $N$ ecuaciones, y podemos utilizar el ordenador para resolverlo.

Answer 2

En primer lugar, es fundamental para el Método de los Elementos Finitos porque sin esa formulación, el método numérico correspondiente para resolverlo sería más bien de Diferencias Finitas.

Cuando consideramos una formulación débil de una EDP estamos buscando deliberadamente soluciones con menos condiciones de regularidad que las que impone la forma clásica. Intentamos incluir en la clase de soluciones de nuestra EDP las candidatas que casi satisfacen la ecuación excepto, por ejemplo, por tener una discontinuidad en la derivada o un salto de dirac. Sería muy interesante tener una definición de solución y en consecuencia una teoría débil de derivación correspondiente que nos permita incluir estos casos en nuestro conjunto de soluciones (frecuentemente tienen un interés físico). Por eso pasamos a la forma débil donde las derivadas se toman en el sentido de las distribuciones (también llamado sentido débil).

Puedes ver una distribución como una extensión de la definición de funciones. Ver definición.

Otro ejemplo de emisión que la teoría de la distribución permite tratar es cuando el término no homogéneo y/o las condiciones límite no son regulares. Os pongo un ejemplo de una EDO real a resolver en el sentido de la distribución.

Considere $y' +2xy = \delta_0$ , donde $\delta_0$ es una distribución (delta de dirac) la teoría clásica no cubre esta ecuación pero tiene una solución de la forma $(H+c)e^{x^2}$ ( donde $H$ es la función Heavside)

En forma débil se escribe la ecuación: $$\forall \phi \in \mathcal C_c (\mathbb R), \ \int_{\mathbb R} [ 2xy(x)\phi(x)-y(x)\phi '(x) ]~dx =\phi(0)$$

Answer 3

Pido disculpas por revivir una vieja pregunta, pero creo que las respuestas no son lo suficientemente atractivas para intuición física por lo que la "forma débil" está logrando.

Pensemos en sistemas del mundo real en los que en una interfaz puede haber cambios bruscos en las propiedades del material. Estos sistemas físicos reales pueden violar las restricciones de suavidad de una EDP. Se podría decir que la EDP clásica para un sistema es demasiado estricta cuando se observa un sistema físico real y arbitrario.

Un ejemplo sencillo es la ecuación de difusión de la temperatura:

$$q(x)=-\partial_x T(x)$$

donde $q$ es el flujo de calor para un perfil de temperatura $T$ . La conservación del flujo de calor es:

$$\partial_xq(x)=0$$

que incluye la segunda derivada de $T$ . En una frontera en la que dos materiales tienen diferentes coeficientes de conductividad térmica, la primera derivada de $T$ se vuelve discontinua y la segunda derivada no se puede encontrar numéricamente.

Convertimos la ecuación en una ecuación integral para que nuestra solución sea menos estricta. Podríamos integrar sobre todo el dominio de $x$ para satisfacer la ecuación de conservación, pero esto no es estricto suficiente para que coincida con la realidad (ya que en la realidad la ecuación integral debe ser igual a cero en todos los puntos, no simplemente a cero).

En su lugar, dividimos la región de integración en segmentos.

$$\int_0^1\partial_xq(x)dx=0 \rightarrow \int_0^{.01}\partial_xq(x)dx=0, \int_{.01}^{.02}\partial_xq(x)dx=0, ...\int_{.99}^1\partial_xq(x)dx=0$$

Dividir esto en más elementos bloquea la solución con más resolución. Esencialmente, el número de elementos que tiene ahora está definiendo la rigurosidad de su solución. En resumen, la forma débil nos permite representar y resolver sistemas físicos reales que no están representados de forma fiable, pero la rigurosidad de la EDP original.

Para más detalles, recomiendo la serie de blogs de COMSOL, empezando por La fuerza de la forma débil donde describen la forma débil y cómo se implementa en su software.