¿Qué simetría provoca que el vector de Runge-Lenz se conserve?

Question

El teorema de Noether relaciona las simetrías con las cantidades conservadas. Para un potencial central $V \propto \frac{1}{r}$, el vector de Laplace-Runge-Lenz se conserva. ¿Cuál es la simetría asociada con la conservación de este vector?

Answer 1

1. Problema hamiltoniano. El El problema de Kepler tiene el Hamiltoniano $$\begin{align} H~=~&T+V, \cr T~:=~& \frac{p^2}{2m}, \cr V~:=~& -\frac{k}{q}, \end{align}\tag{1} $$ donde $m$ es la masa reducida de 2 cuerpos. El Vector Laplace-Runge-Lenz es (hasta una normalización irrelevante) $$\begin{align} A^j ~:=~&a^j + km\frac{q^j}{q}, \cr a^j~:=~&({\bf L} \times {\bf p})^j\cr ~=~&{\bf q}\cdot{\bf p}~p^j- p^2~q^j, \cr \cr {\bf L}~:=~& {\bf q} \times {\bf p}.\end{align} \tag{2}$$

2. Acción. El lagrangiano hamiltoniano es $$ L_H~:=~ \dot{\bf q}\cdot{\bf p} - H,\tag{3} $$ y la acción es $$ S[{\bf q},{\bf p}]~=~ \int {\rm d}t~L_H .\tag{4}$$ Los corchetes canónicos fundamentales no nulos son $$ \{ q^i , p^j\}~=~ \delta^{ij}. \tag{5}$$

3. Teorema de Noether inverso. En general, en la formulación hamiltoniana, dada una constante de movimiento $Q$ entonces la variación infinitesimal $$\delta ~=~ -\varepsilon \{Q,\cdot\}\tag{6}$$ es una simetría global de la acción $S$ (modulando los términos del límite). Aquí $\varepsilon$ es un parámetro global infinitesimal, y $X_Q=\{Q,\cdot\}$ es un campo vectorial hamiltoniano con generador hamiltoniano $Q$ . La carga completa de Noether es $Q$ Véase, por ejemplo, mi respuesta a esta pregunta . (Las palabras en la cáscara y fuera de la cáscara se refieren a si las ecuaciones del movimiento se satisfacen o no. El menos es convencional).

4. Variación. Comprobemos que las tres componentes de Laplace-Runge-Lenz $A^j$ son generadores hamiltonianos de tres simetrías globales continuas de la acción $S$ . En detalle, las variaciones infinitesimales $\delta= \varepsilon_j \{A^j,\cdot\}$ leer $$\begin{align} \delta q^i ~=~& \varepsilon_j \{A^j,q^i\} , \cr \{A^j,q^i\} ~=~& 2 p^i q^j - q^i p^j - {\bf q}\cdot{\bf p}~\delta^{ij}, \cr \delta p^i ~=~& \varepsilon_j \{A^j,p^i\} , \cr \{A^j,p^i\}~=~& p^i p^j - p^2~\delta^{ij} +km\left(\frac{\delta^{ij}}{q}- \frac{q^i q^j}{q^3}\right), \cr \delta t ~=~&0,\end{align} \tag{7}$$ donde $\varepsilon_j$ son tres parámetros infinitesimales.

5. Obsérvese para más adelante que $$ {\bf q}\cdot\delta {\bf q}~=~\varepsilon_j({\bf q}\cdot{\bf p}~q^j - q^2~p^j), \tag{8} $$ $$\begin{align} {\bf p}\cdot\delta {\bf p} ~=~&\varepsilon_j km(\frac{p^j}{q}-\frac{{\bf q}\cdot{\bf p}~q^j}{q^3})\cr ~=~& -\frac{km}{q^3}{\bf q}\cdot\delta {\bf q},\end{align} \tag{9} $$ $$\begin{align} {\bf q}\cdot\delta {\bf p}~=~&\varepsilon_j({\bf q}\cdot{\bf p}~p^j - p^2~q^j )\cr ~=~&\varepsilon_j a^j, \end{align} \tag{10} $$ $$\begin{align} {\bf p}\cdot\delta {\bf q}~=~&2\varepsilon_j( p^2~q^j - {\bf q}\cdot{\bf p}~p^j)\cr ~=~&-2\varepsilon_j a^j~.\end{align} \tag{11} $$

6. El hamiltoniano es invariante $$ \delta H ~=~ \frac{1}{m}{\bf p}\cdot\delta {\bf p} + \frac{k}{q^3}{\bf q}\cdot\delta {\bf q}~=~0, \tag{12}$$ mostrando que el vector Laplace-Runge-Lenz $A^j$ es clásicamente una constante de movimiento $$\frac{dA^j}{dt} ~\approx~ \{ A^j, H\}+\frac{\partial A^j}{\partial t} ~=~ 0.\tag{13}$$
   (Utilizaremos el $\approx$ para subrayar que una ecuación es una ecuación on-shell).

7. La variación del lagrangiano hamiltoniano $L_H$ es una derivada temporal total $$\begin{align} \delta L_H ~=~& \delta (\dot{\bf q}\cdot{\bf p}) \cr ~=~& \dot{\bf q}\cdot\delta {\bf p} - \dot{\bf p}\cdot\delta {\bf q} + \frac{d({\bf p}\cdot\delta {\bf q})}{dt} \cr ~=~& \varepsilon_j\left( \dot{\bf q}\cdot{\bf p}~p^j - p^2~\dot{q}^j + km\left( \frac{\dot{q}^j}{q} - \frac{{\bf q} \cdot \dot{\bf q}~q^j}{q^3}\right)\right) \cr ~-~&\varepsilon_j\left(2 \dot{\bf p}\cdot{\bf p}~q^j - \dot{\bf p}\cdot{\bf q}~p^j- {\bf p}\cdot{\bf q}~\dot{p}^j \right) - 2\varepsilon_j\frac{da^j}{dt}\cr ~=~&\varepsilon_j\frac{df^j}{dt}, \cr f^j ~:=~& A^j-2a^j, \end{align} \tag{14}$$ y por lo tanto la acción $S$ es invariante fuera de la cáscara hasta los términos de frontera.

8. Carga de Noether. La desnudez Carga de Noether $Q_{(0)}^j$ es $$\begin{align} Q_{(0)}^j~:=~& \frac{\partial L_H}{\partial \dot{q}^i} \{A^j,q^i\}+\frac{\partial L_H}{\partial \dot{p}^i} \{A^j,p^i\} \cr ~=~& p^i\{A^j,q^i\}\cr ~=~& -2a^j.\end{align} \tag{15}$$ La carga completa de Noether $Q^j$ (que tiene en cuenta la derivada temporal total) se convierte en (menos) el vector Laplace-Runge-Lenz $$\begin{align} Q^j~:=~&Q_{(0)}^j-f^j\cr ~=~& -2a^j-(A^j-2a^j)\cr ~=~& -A^j.\end{align}\tag{16}$$ $Q^j$ se conserva en la cáscara $$\frac{dQ^j}{dt} ~\approx~ 0,\tag{17}$$
   debido a Primer teorema de Noether . Aquí $j$ es un índice que etiqueta las tres simetrías.

9. Problema lagrangiano. El problema de Kepler tiene el Lagrangiano $$\begin{align} L~=~&T-V, \cr T~:=~& \frac{m}{2}\dot{q}^2, \cr V~:=~& -\frac{k}{q}. \end{align} \tag{18} $$ El momento lagrangiano es $$ {\bf p}~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{\bf q}}~=~m\dot{\bf q} \tag{19} . $$ Proyectemos la transformación de simetría infinitesimal (7) al espacio de configuración lagrangiano $$\begin{align} \delta q^i ~=~& \varepsilon_j m \left( 2 \dot{q}^i q^j - q^i \dot{q}^j - {\bf q}\cdot\dot{\bf q}~\delta^{ij}\right), \cr \delta t ~=~&0.\end{align}\tag{20}$$ Habría sido difícil adivinar la transformación de simetría infinitesimal (20) sin utilizar la correspondiente formulación hamiltoniana (7). Pero una vez que la conocemos podemos proceder dentro del formalismo lagrangiano. La variación de la Lagrangiana es una derivada temporal total $$\begin{align} \delta L~=~&\varepsilon_j\frac{df^j}{dt}, \cr f_j~:=~& m\left(m\dot{q}^2q^j- m{\bf q}\cdot\dot{\bf q}~\dot{q}^j +k \frac{q^j}{q}\right)\cr ~=~&A^j-2 a^j . \end{align}\tag{21}$$ La desnudez Carga de Noether $Q_{(0)}^j$ es de nuevo $$Q_{(0)}^j~:=~2m^2\left(\dot{q}^2q^j- {\bf q}\cdot\dot{\bf q}~\dot{q}^j\right) ~=~-2a^j . \tag{22}$$ La carga completa de Noether $Q^j$ se convierte en (menos) el vector Laplace-Runge-Lenz $$\begin{align} Q^j~:=~&Q_{(0)}^j-f^j \cr ~=~& -2a^j-(A^j-2a^j)\cr ~=~& -A^j,\end{align}\tag{23}$$ similar a la formulación hamiltoniana (16).

Answer 2

Mientras que la segunda ley de Kepler es simplemente una declaración de la conservación del momento angular (y como tal, se cumple para todos los sistemas descritos por fuerzas centrales), las primeras y terceras leyes son especiales y están vinculadas a la forma única del potencial newtoniano $-k/r$. En particular, el teorema de Bertrand asegura que solamente el potencial newtoniano y el potencial armónico $kr^2$ dan lugar a órbitas cerradas (sin precesión). Es natural pensar que esto debe deberse a algún tipo de simetría del problema. De hecho, la simetría particular del potencial newtoniano se describe exactamente mediante la conservación del vector RL (se puede demostrar que el vector RL se conserva si y solo si el potencial es central y newtoniano). Esto, a su vez, se debe a una simetría más general: si la conservación del momento angular está vinculada al grupo de transformaciones ortogonales especiales en el espacio tridimensional $SO(3)$, la conservación del vector RL debe estar vinculada a un grupo de simetrías de 6 dimensiones, ya que en este caso aparentemente hay seis cantidades conservadas (3 componentes de $L$ y 3 componentes de $\mathcal A$). En el caso de órbitas ligadas, este grupo es $SO(4)$, el grupo de rotaciones en el espacio tetradimensional.

Solo para fijar la notación, el vector RL es:

\begin{equation} \mathcal{A}=\textbf{p}\times\textbf{L}-\frac{km}{r}\textbf{x} \end{equation}

Calcula su derivada total:

\begin{equation}\frac{d\mathcal{A}}{dt}=-\nabla U\times(\textbf{x}\times\textbf{p})+\textbf{p}\times\frac{d\textbf{L}}{dt}-\frac{k\textbf{p}}{r}+\frac{k(\textbf{p}\cdot \textbf{x})}{r^3}\textbf{x} \end{equation}

Utiliza el símbolo de Levi-Civita para desarrollar los términos cruzados:

\begin{equation}\epsilon_{sjk}\epsilon_{sil}=\delta_{ji}\delta_{kl}-\delta_{jl}\delta_{ki} \end{equation}

Finalmente:

\begin{equation} \frac{d\mathcal{A}}{dt}=\left(\textbf{x}\cdot\nabla U-\frac{k}{r}\right)\textbf{p}+\left[(\textbf{p}\cdot\textbf{x})\frac{k}{r^3}-2\textbf{p}\cdot\nabla U\right]\textbf{x}+(\textbf{p}\cdot\textbf{x})\nabla U \end{equation}

Ahora, si el potencial $U=U(r)$ es central:

\begin{equation} (\nabla U)_j=\frac{\partial U}{\partial x_j}=\frac{dU}{dr}\frac{\partial r}{\partial x_j}=\frac{dU}{dr}\frac{x_j}{r} \end{equation}

por lo que

\begin{equation} \nabla U=\frac{dU}{dr}\frac{\textbf{x}}{r}\end{equation}

Sustituyendo de vuelta:

\begin{equation}\frac{d\mathcal A}{dt}=\frac{1}{r}\left(\frac{dU}{dr}-\frac{k}{r^2}\right)[r^2\textbf{p}-(\textbf{x}\cdot\textbf{p})\textbf{x}]\end{equation}

Ahora, ves que si el potencial $U$ tiene la forma newtoniana exactamente, entonces el primer paréntesis es cero y por lo tanto el vector RL se conserva.

Tal vez haya alguna manera más elegante de verlo (¿corchetes de Poisson?), pero de todas formas esto funciona.

Answer 3

La simetría es un ejemplo de una simetría abierta, es decir, un grupo de simetría que varía de órbita de acción de grupo a órbita. Para trayectorias ligadas, es SO(4). Para trajetorias parabólicas, es SE(3). Para trajetorias hiperbólicas, es SO(3,1). Tales casos son mejor manejados por los grupoidees.

Answer 4

La conservación del vector de Runge-Lenz no corresponde a una simetría de la Lagrangiana en sí misma. Se deriva de una invarianza de la integral de la Lagrangiana con respecto al tiempo, la integral de la acción clásica. Hace algún tiempo escribí una derivación del vector conservado para cualquier potencial esféricamente simétrico:

http://analyticphysics.com/Runge Vector/The Symmetry Corresponding to the Runge Vector.htm

La derivación está al nivel de Goldstein y tiene como objetivo completar la omisión en los textos de mecánica clásica a nivel de posgrado.

Answer 5

(Esta publicación puede ser antigua, pero podemos agregar algunas precisiones) La conservación del vector RL no es trivial, viene dado por el hecho de que se considera una fuerza central, liderada aquí por un potencial newtoniano $\frac{1}{r}$ que tiene la propiedad de ser invariante bajo rotaciones (como $\frac{1}{r^n}$ pero solo funciona para $n = 1$ como mostró @quark1245).

Por lo tanto, el S0(3) que no tiene 6 cantidades conservadas como se dijo antes, sino 3, los 3 generadores de la simetría $J_i$, i = 1..3 tal que la transformación de simetría bajo un cambio infinitesimal $x \rightarrow x + \epsilon$ se da en el formalismo canónico por $$ \delta_i X = \{X, J_i(\epsilon) \} $$ y el álgebra es $$ \{ J_i, J_j \} = \epsilon_{ij}^k J_k. $$ Son conservados porque, al menos para el problema de Kepler, el sistema es invariante con respecto a una traslación en el tiempo, y el Hamiltoniano también es conservado, y los cálculos muestran que $$ \{H,J_i\}= 0. $$

Antes de su redefinición, como se muestra en Wikipedia para ver que se cumple el álgebra anterior, los generadores de las rotaciones son: uno es el momento angular $L$ que muestra que el movimiento es plano, por lo tanto invariante bajo rotación alrededor de $L$, uno es el vector RL que está en el plano, por lo tanto perpendicular a $L$ y paralelo al eje mayor de la elipse, y el tercero tiene un nombre que no recuerdo, pero es paralelo al eje menor.

Podemos ver que solo hay 3 grados de libertad si nos ubicamos en el referencial tal que $\vec{J}_1 = \vec{L} = (0,0,L_z)$, entonces los generadores planos son $A = (A_x,0,0)$ y $B = (0,B_y,0).

Se ha demostrado que pueden construirse a partir de los tensores Killing-Yano (que significan simetría), y funciona también en dimensiones mayores que 3. Una buena revisión sobre la derivación del vector LRL se puede encontrar en HeckmanVanHaalten