Me pareció una pregunta bastante impar, pero que, sin embargo, resultaba extrañamente atractiva. En un esfuerzo por comprender las curvas que satisfacen la hipótesis de la OP (véase (7) más abajo), intenté desarrollar algunas de sus implicaciones. Espero que otros con una curiosidad similar a la mía encuentren útil el siguiente "análisis".
Suponiendo que $x(t)$ es una curva regular, por definición,
$\dfrac{ds}{dt} = \vert x' \vert \ne 0, \tag 1$
donde $s$ es la longitud de arco a lo largo de $x(t)$ Entonces
$x' = \dfrac{ds}{dt}T, \tag 2$
$T$ siendo el campo tangente unitario a $x(t)$ diferenciando (2) con respecto a $t$ ,
$x'' = \dfrac{d^2s}{dt^2} T + \dfrac{ds}{dt} \dfrac{dT}{dt}; \tag 3$
de la manera habitual la regla de la cadena da como resultado
$\dfrac{dT}{dt} = \dfrac{ds}{dt} \dfrac{dT}{ds}; \tag 4$
la primera ecuación de Frenet-Serret,
$\dfrac{dT}{ds} = \kappa N, \tag 5$
es válido siempre que $\kappa$ la curvatura de $x(t)$ no desaparece, y sirve para definir $N$ el campo normal unitario a $x(t)$ ; a través de (4) y (5), (3) se convierte en
$x'' = \dfrac{d^2s}{dt^2}T + \left (\dfrac{ds}{dt} \right )^2 \kappa N. \tag 6$
Observamos que (1)-(4) se aplican a cualquier curva regular $x(t)$ y (5) y (6) también cuando $\kappa$ no desaparece, lo que de acuerdo con (1), (4) y (5) es cierto siempre que
$\dfrac{dT}{dt} \ne 0; \tag{6.5}$
si además $x(t)$ satisface la hipótesis dada
$N = x'' - (x'' \cdot T)T = x'' - \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(T \cdot T)T, \tag 7$
entonces
$(x'' \cdot T)T = \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(T \cdot T)T, \tag 8$
de donde
$x'' \cdot T = \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(T \cdot T) = \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(1) = 0; \tag 9$
a la luz de (6) encontramos
$\dfrac{d^2s}{dt^2} = \dfrac{d^2s}{dt^2}T \cdot T + \left (\dfrac{ds}{dt} \right )^2 \kappa N \cdot T = x'' \cdot T = 0; \tag{10}$
así
$\dfrac{ds}{dt} = v, \text{a constant}, \tag{11}$
es decir, $x(t)$ es un curva de velocidad constante por lo que podemos escribir
$s(t) = v(t - t_0) + s_0, \tag{12}$
donde
$s_0 = s(t_0); \tag{13}$
Además, a través de (9), la ecuación (7) se convierte en
$N = x''; \tag{14}$
combinando esto con (6) y (10) encontramos
$N = \left (\dfrac{ds}{dt} \right )^2 \kappa N, \tag{15}$
de lo que deducimos
$\left (\dfrac{ds}{dt} \right )^2 \kappa = 1, \tag{16}$
es decir,
$\kappa = \left(\dfrac{ds}{dt} \right )^{-2} = v^{-2} = \dfrac{1}{v^2}; \tag{17}$
Obsérvese que (1) y (11) implican
$v \ne 0. \tag{18}$
También podemos llevar esta línea uno o dos pasos más allá y desarrollar una expresión para la torsión $\tau$ de $x(t)$ en términos de $v$ y $x'(t)$ , $x''(t)$ y $x'''(t)$ . Dicha torsión puede definirse a través de la tercera ecuación de Frenet-Serret
$\dfrac{dB}{ds} = -\tau N, \tag{19}$
donde el vector binormal unitario $B$ se define a través de
$B = T \times N; \tag{20}$
de (2) y (11) tenemos
$T = \dfrac{dt}{ds} x' = v^{-1}x'; \tag{21}$
así, sustituyendo esto y (14) en (20),
$B = v^{-1}x' \times x''; \tag{22}$
así
$\dfrac{dB}{ds} = \dfrac{dt}{ds}\dfrac{dB}{dt} = v^{-1}\dfrac{d}{dt}(v^{-1}x' \times x'')$ $= v^{-2}(x'' \times x'' + x' \times x''') = v^{-2}(x' \times x'''); \tag{23}$
a la luz de esta ecuación y de (14), (19) se convierte en
$v^{-2}(x' \times x''') = -\tau x'', \tag{24}$
o
$\tau x'' = -v^{-2}(x' \times x'''); \tag{25}$
ahora (14) implica $x''$ es un vector unitario, por lo que
$\tau = \tau x'' \cdot x'' = -v^{-2}(x' \times x''') \cdot x''$ $= v^{-2}(x''' \times x') \cdot x'' = v^{-2}(x' \times x'') \cdot x''', \tag{26}$
donde hemos utilizado el [álgebra vectorial estándar][1] para realizar estos reordenamientos. Podemos reexpresar este resultado a través de (14) y (21):
$\tau = v^{-2}(x' \times x'') \cdot x''' = v^{-1}(v^{-1}x' \times x'') \cdot x'''$ $= v^{-1}(T \times N) \cdot x''' = v^{-1} B \cdot x'''. \tag{27}$
Nuestro OP Nono4271 planteó la pregunta específica, "¿cómo $(x'' \cdot T)T$ se convierte en $\frac{1}{2}\frac{d}{dt}(T \cdot T)T$ ?" es evidente que
$(x'' \cdot T)T = \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(T \cdot T)T \tag{28}$
si y sólo si
$x'' \cdot T = \dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(T \cdot T) = T' \cdot T, \tag{29}$
que es evidentemente una consecuencia de
$x'' = T'; \tag{30}$
La inspección de (3) revela que esto se cumple cuando
$\dfrac{ds}{dt} = 1, \; \dfrac{d^2s}{dt^2} = 0, \tag{31}$
es decir, cuando $ds/dt$ es contante, y de hecho
$s = t + c \tag{32}$
para alguna constante $c$ por lo tanto $t$ es esencialmente la longitud de arco a lo largo de $x(t)$ . En efecto, (32) implica
$\dfrac{ds}{dt} = 1, \; \dfrac{dt}{ds} = 1, \tag{33}$
de donde
$x'(t) = \dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dt}{ds}\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{dx}{ds} = T(t), \tag{34}$
y
$x''(t) = T'(t), \tag{35}$
como se requiere arriba ca. (30).
Volviendo momentáneamente a (7), supongamos por el momento que $V$ es cualquier campo vectorial unitario a lo largo de la curva $x(t)$ , y establecer
$M = x'' - (x'' \cdot V)V; \tag {36}$
entonces $M$ es un campo vectorial a lo largo de $x(t)$ , ortogonal a $V$ , para
$M \cdot V = x'' \cdot V - (x'' \cdot V)V \cdot V = x'' \cdot V - x'' \cdot V = 0, \tag{37}$
desde
$V \cdot V = 1; \tag{38}$
si además elegimos
$V = T, \tag{39}$
encontramos que $M$ es normal a la curva $x(t)$ pero no es necesariamente el normal $N$ dado por (5); como tal, la mera existencia de tal $M$ no es en sí mismo una rica fuente de información sobre la curva $x(t)$ la hipótesis específica de que $M = N$ Sin embargo, permite hacer inferencias específicas sobre la naturaleza de $x(t)$ de la que se puede extraer, ya que impone importantes restricciones tanto a la $T$ y $N$ .
Es muy posible derivar otras propiedades de estas curvas $x(t)$ pero de hecho hemos encontrado su curvatura (17) y su torsión (27), así que quizás este sea un lugar suficientemente bueno para dejarlo.
