Divisibilidad en un determinado anillo y divisibilidad en números enteros.

Question

Divisibilidad en el anillo $\mathbb{Z}[x,y]$ implica la divisibilidad en $\mathbb{Z}$ ?

Dejemos que $P(x,y)=Q(x,y)\cdot R(x,y)$ con $P,Q,R$ polinomios con coeficientes enteros, evaluando en $(x,y)=(a,b)$ con $a,b\in \mathbb{Z}$ da claramente una relación de divisibilidad en $\mathbb{Z}$ . Más concretamente, mi pregunta es:

Puedo demostrar que un polinomio $P(x,y)$ no es divisible por $Q(x,y)$ asumiendo que lo es, y posteriormente evaluar en un par particular $(a,b)$ consiguiendo no la divisibilidad en números enteros, y por tanto una contradicción con la suposición?

Answer 1

Sí, eso funciona bien, por ejemplo, si $\ x\mid y\ $ en $\,\Bbb Z[x,y]\,$ entonces $\ 0\mid 1\ $ en $\,\Bbb Z\,$ evaluando en $\,x,y = 0,1.$

Nota: $\ $ A menudo se puede deducir mucha información sobre la divisibilidad de los polinomios examinando la divisibilidad de sus evaluaciones. Por ejemplo, las posibles factorizaciones de un polinomio $\in\Bbb Z[x]$ están limitados por las factorizaciones de los valores enteros que toma el polinomio. Para un ejemplo sencillo, si algún valor entero tiene pocas factorizaciones (por ejemplo, es una unidad $\,\pm1 $ o primar $p$ ) entonces el polinomio también debe tener pocos factores, suponiendo que los factores son distintos en el punto de evaluación. Más concretamente

Si $\, f(x) = f_1(x)\cdots f_k(x)\,$ y $\,f_i\in\Bbb Z[x]\,$ satisfacer $\color{#0a0}{f_i(n) \ne f_j(n)}\,$ para $\,i\ne j,$ todo $\,n\in \Bbb Z$

$\quad \color{#c00}{f(n) =\pm1}\,\Rightarrow\, k\le 2\ $ si no $1$ habría $\rm\,3\,\ \color{#0a0}{distinct}$ factores $\,f_1(n),f_2(n),f_3(n)$

$\quad f(n) = \pm p\,\Rightarrow\, k\le \color{#c0f}4\ $ ya que un primo $p$ tiene como máximo $\,\color{#c0f}4\,$ factores distintos $\,\pm1,\pm p$

Se puede llevar la idea clave al extremo para obtener un simple algoritmo para la factorización de polinomios mediante la factorización de sus valores enteros y la interpolación de Lagrange. Las ideas de este algoritmo se deben en parte a Bernoulli, Schubert y Kronecker. Véase esta respuesta para las referencias.