Si consideramos la ecuación de un círculo $x^2+y^2=r^2$ Entonces entiendo que $dy/dx$ puede calcularse de la siguiente manera mediante una diferenciación implícita: \begin{align} 2x + 2y\frac{dy}{dx} &= 0 \\ \frac{dy}{dx} &= -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y} \, . \end{align} Aunque me siento cómodo derivando este resultado, no entiendo muy bien cómo debo interpretarlo. A nivel intuitivo, la fórmula $dy/dx = -x/y$ parece sugerir que el gradiente de la tangente a cualquier punto dado $(x,y)$ es $-x/y$ . Sin embargo, como la curva $x^2+y^2=r^2$ falla la prueba de la línea vertical No parece que sea ni siquiera una función. Normalmente, $dy/dx$ puede considerarse como una abreviatura de $$ \lim_{h \to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h} \, . $$ Sin embargo, en este caso cada $x$ -valor se asigna a dos $y$ -y, por lo tanto, la definición de límite no parece aplicarse en este caso. Entonces, ¿qué es lo que $dy/dx$ ¿Representa realmente en este contexto?
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Todavía se puede pensar en términos de la pendiente de una línea tangente, e incluso en términos de un límite. Sin embargo, como usted ha señalado, $x^2 + y^2 = r^2$ no es una función porque no supera la prueba de la línea vertical. Sin embargo, por la Teorema de la función implícita podemos considerar $F(x,y) = x^2 + y^2 - r^2$ y para cualquier $(x_{0},y_{0})$ donde $\frac{\partial F}{\partial y}\ne 0$ entonces existe alguna vecindad alrededor del punto $(x_{0},y_{0})$ para lo cual podemos expresar $F(x,y) = 0$ como alguna función $y = f(x)$ . Tenga en cuenta que en este caso, $$\frac{\partial F}{\partial y} = 2y,$$ que es cero siempre que $y = 0$ Así que en los puntos $(r,0)$ y $(-r,0)$ . En el círculo. En cualquier otro lugar podemos definir la curva mediante $$y = \sqrt{r^{2} - x^{2}}$$ ou $$y = -\sqrt{r^{2} - x^{2}}$$ y estas funciones son diferenciables siempre que $y\ne 0$ . Para comprobar que la derivada mediante la definición de límite coincide con la obtenida por diferenciación implícita, podemos calcular como sigue para el semicírculo positivo: \begin{align} y' &= \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{r^{2} - (x+h)^{2}} - \sqrt{r^2 - x^2}}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{r^{2} - (x+h)^{2}} - \sqrt{r^2 - x^2}}{h} \cdot \frac{\sqrt{r^{2} - (x+h)^{2}} + \sqrt{r^2 - x^2}}{\sqrt{r^{2} - (x+h)^{2}} + \sqrt{r^2 - x^2}}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{r^{2} - (x+h)^{2} - r^{2} - x^{2}}{h(\sqrt{r^{2} - (x+h)^{2}} + \sqrt{r^2 - x^2})}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{-2xh -h^{2}}{h(\sqrt{r^{2} - (x+h)^{2}} + \sqrt{r^2 - x^2})}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{-2x - h}{\sqrt{r^{2} - (x+h)^{2}} + \sqrt{r^2 - x^2}}\\ &=-\frac{2x}{2\sqrt{r^{2} - x^{2}}}\\ &=-\frac{x}{y}. \end{align} Donde la última igualdad proviene de la ecuación $y = \sqrt{r^2 - x^2}.$ Podemos hacer lo mismo para el semicírculo negativo.
Mientras que cada $x\in(-r,\,r)$ es compatible con dos opciones de $y$ El movimiento continuo a lo largo de la circunferencia define bien la elección de $y$ en cada punto, dando una $y$ -como función de- $x$ comportamiento en cualquier lugar $dy/dx$ es finito y no nulo (es decir, que $x,\,y$ son ambos distintos de cero), lo que ocurre en todos los puntos de la circunferencia menos en cuatro.
Este comportamiento local se describe más fácilmente en términos del ángulo polar $\theta$ y como $x=r\cos\theta,\,y=r\sin\theta$ por la regla de la cadena $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}=\frac{x}{-y}=-\cot\theta$ .
En efecto, la curva no es la gráfica de una función. En cualquier punto $(x,y)$ en la curva, si un disco abierto alrededor de ese punto es lo suficientemente pequeño, entonces la porción de la curva que está dentro de esa vecindad es la gráfica de una función, y la pendiente de la línea tangente a la gráfica de esa función es $-x/y.$
Los derivados son local es decir, la pendiente de una curva en un punto viene determinada por el comportamiento de esa curva dentro de una pequeña vecindad abierta del punto, por pequeña que sea.
Además, el concepto de línea tangente a una curva no se limita a las curvas que son la gráfica de una función, por lo que
