Propagación del error en la media ponderada

Question

Entiendo que, si los errores son aleatorios e independientes, la suma (o diferencia) de dos cantidades medidas, digamos $x$ y $y$ es igual a la suma cuadrática de los dos errores. En otras palabras, el error de $x + y$ viene dada por $\sqrt{e_1^2 + e_2^2}$ , donde $e_1$ y $e_2$ y los errores de $x$ y $y$ respectivamente.

Sin embargo, aún no he podido encontrar cómo calcular el error de ambos media aritmética y el media ponderada de las dos cantidades medidas. ¿Cómo se propagan los errores en estos casos?

Answer 1

La primera afirmación se refiere a errores medios al cuadrado que en términos probabilísticos se traduce en desviaciones estándar .

Ahora bien, la probabilidad dice que la varianza de la suma de dos variables independientes es la suma de las varianzas. Es decir, si $z = x + y$ ( $x$ y $y$ indep), entonces $\sigma_z^2 = \sigma_x^2 + \sigma_y^2$ y $$e_z = \sigma_z = \sqrt{\sigma_x^2 + \sigma_y^2} = \sqrt{e_x^2 + e_y^2}$$

Sabiendo esto, y sabiendo que $Var(a X) = a^2 Var(X)$ , si $z = a x + (1-a) y$ (media ponderada, si $0\le a \le1$ ) obtenemos:

$$\sigma_z^2 = a^2\sigma_x^2 + (1-a)^2\sigma_y^2$$

$$e_z = \sqrt{a^2 e_x^2 + (1-a)^2 e_y^2} = a \sqrt{ e_x^2 + \left(\frac{1-a}{a}\right)^2 e_y^2}$$

En particular, si $a=1/2$ entonces $e_z = \frac{1}{2}\sqrt{ e_x^2 + e_y^2}$

Otro caso particular: si $e_x = e_y$ entonces

$$e_z = e_x \sqrt{a^2 +(1-a)^2}$$

Answer 2

La media aritmética no es más que una versión escalada de la suma, por lo que sólo hay que saber que el error escala como la propia cantidad bajo escala; así el error en la media aritmética es $\sqrt{e_1^2+e_2^2}/2$ . (Es necesario encerrar el argumento de la raíz entre llaves en lugar de paréntesis para que aparezca debajo de la raíz cuadrada).

Para más información propagación de errores En el caso de los errores, hay que multiplicar los errores por las derivadas parciales con respecto a las cantidades individuales. En el caso de la media geométrica, $g(x,y)=\sqrt{xy}$ , estos son

$$\frac{\partial g}{\partial x}=\frac12\sqrt{\frac yx}\;,\quad\frac{\partial g}{\partial y}=\frac12\sqrt{\frac xy}\;,$$

por lo que el error $e$ es

$$\begin{eqnarray} e &=& \sqrt{\left(\frac{\partial g}{\partial x}e_x\right)^2+\left(\frac{\partial g}{\partial y}e_y\right)^2}\\ &=& \frac12\sqrt{\frac yxe_x^2+\frac xye_y^2} \\ &=& \frac1{2g}\sqrt{(e_xy)^2+(e_yx)^2}\;. \end{eqnarray}$$