Cuestiones sobre la analogía entre Spec Z y los 3-manifolds

Question

No estoy seguro de que las preguntas tengan sentido: Conc. primos como nudos y Spec Z como 3-manifold - ¿se ajusta eso a la conjetura de Poincare? Los topólogos ven los 3manifolds como clases de equivalencia Kirby de enlaces enmarcados. ¿Cómo sería eso con Spec Z? Entonces, los topólogos tienen cosas como los 3-manifolds virtuales, ¿tiene eso analogías en la aritmética?

Editar: Nuevo informe de MFO : "En estos momentos el tema de mayor interacción entre topólogos y teóricos de los números son los invariantes cuánticos de los 3-manifolds y su asintótica. La reunión de este año mostró un progreso significativo en este campo".

Edición: "¿Cuál es la analogía de los invariantes cuánticos en la topología aritmética?", "Si un número primo es un nudo, ¿qué es un cruce?" pregunta este viejo informe .

Otra pregunta de este tipo: Minhyong Kim tensiones la especial complejidad de la teoría de los números: "Para nuestra comprensión actual, los campos numéricos muestran exactamente el tipo de orden 'al borde del caos' que los aritméticos encuentran tan tentador, y que podría haber repugnado a Grothendieck". Probablemente la sensación de una complejidad tan especial hace que uno se interese inicialmente por la TN. La teoría de los nudos es otro caso que induce una impresión similar. ¿Podrían ambos casos estar conectados por la analogía anterior? ¿Cómo podría ser una descripción precisa de esa complejidad especial y abarcaría ambos casos? Tomando esa analogía, me inclino por responder La pregunta de Minhyong con el contraste entre la geometría de baja dimensión (= desordenada) y la de alta dimensión (= armonizada). Entonces me pregunto si existen analogías de "armonización por aumento de dimensiones" en la teoría de los números o en el programa de Langlands.

Minhyong alude en un correo a "el estudio de los espacios de moduli de los haces sobre anillos de enteros y sobre tres variedades como posible punto en común entre las dos situaciones". Una búsqueda en Google da como resultado un viejo artículo de Rapoport "Analogien zwischen den Modulräumen von Vektorbündeln und von Flaggen" (Analogías entre los espacios de módulos de los haces vectoriales y las banderas) (p. 24 ici , MR ). Allí, Rapoport describe la cohomología de tales espacios de moduli análogos, inspirada en una similitud de los haces vectoriales sobre superficies de Riemann y las isocristales filtradas de las cohomologías p-ádicas, "bellas áreas de las matemáticas conectadas por analogías totalmente misteriosas". ( libro por R., Orlik, Dat) Por muy interesante que parezca, me pregunto si la pista de Google está relacionada con el tema inicial. ¿Qué opinas al respecto? (¿Y se ha dilucidado el misterio que describe Rapoport?)

Editar: Conferencias de Atiyah discutiendo las analogías anteriores y las cuestiones inducidas de los "conjuntos cuánticos de Weil", etc.

Este interesante ensayo de Gromov trata el tema de las "estructuras interesantes" de forma muy general. Según él, las "estructuras interesantes" no existen nunca de forma aislada, sino sólo como "ejemplos de clases de objetos estructurados organizados estructuralmente", Z sólo debido a que, por ejemplo, los enteros algebraicos son estructuras similares "circundantes". Eso encajaría con las conjeturas anteriores, pero no por qué los números fueron percibidos como especialmente fascinantes ya en la antigüedad griega, cuando las "estructuras circundantes" que menciona Gromov eran desconocidas. Tal vez Mochizuki tenga con su "geometría interuniversal" ¿un tipo de sustituto en mente?

Editar: Hidekazu Furusho : "En la topología aritmética se sugieren muchas analogías entre la teoría algebraica de los números y la topología tridimensional, sin embargo, hasta donde sabemos, no parece conocerse ninguna relación directa. Nuestro intento de este artículo y de los siguientes es dar una directa particularmente entre los grupos de Galois y los nudos."

Answer 1

La analogía no da una versión teórica de los números de la conjetura de Poincare. Véase Sikora, "Analogies between group actions on 3-manifolds and number fields" (arXiv:0107210): el autor plantea la conjetura de Poincare como "S 3 es el único 3manifiesto cerrado sin cubiertas no ramificadas". La afirmación análoga en teoría de los números es que Q es el único campo numérico sin extensiones no ramificadas, y de hecho señala que hay algunos contraejemplos conocidos, como los campos cuadráticos imaginarios con número de clase 1.

El artículo también tiene un bonito pero breve resumen del llamado "diccionario MKR" que relaciona los 3manifolds con los campos numéricos en la sección 2. El artículo expositivo de Morishita sobre el tema, arXiv:0904.3399, tiene más información sobre lo que son los complementos de nudo, los meridianos y longitudes, los grupos de nudos, etc., pero no creo que haya una explicación de lo que sería la cirugía de nudos y, por tanto, no estoy seguro de cómo encaja el cálculo de Kirby en el panorama.

Edición: Un artículo de B. Morin sobre el diccionario de Sikora (y su relación con la cohomología de Lichtenbaum, p. 28): "ha dado pruebas de sus resultados que son muy diferentes en el caso aritmético y en el topológico. En este artículo, mostramos cómo proporcionar un enfoque unificado de los resultados en los dos casos. Para ello introducimos una cohomología equivariante que satisface un teorema de localización. En particular, obtenemos una explicación satisfactoria para las coincidencias entre las fórmulas de Sikora que nos lleva a clarificar y ampliar el diccionario de topología aritmética."

Answer 2

Creo que es importante tener en cuenta el hecho de que la analogía no es entre los campos numéricos individuales y los 3-manifolds individuales; es entre la colección de todos los campos numéricos y la colección de todos los 3-manifolds. Así que, en mi opinión, es un poco erróneo pedir una "conjetura aritmética de Poincare" sobre Spec Z; no creo que Spec Z deba considerarse análogo a S^3 en ningún sentido significativo.

Como siempre, John Baez tiene cosas útiles que decir.

Vi a Deninger dar una hermosa charla sobre su punto de vista al respecto, parte de la cual se recoge en este documento . Parte de la idea, un tanto vaga, es que hay que pensar en un campo numérico no como un manípulo sin adornos, sino como un manípulo con un flujo en él. Y entonces los primos finitos no son sólo nudos, sino órbitas cerradas de ese flujo. Esto da una respuesta más satisfactoria a la pregunta de "¿por qué un 3manifold tiene una distinguida familia contablemente infinita de nudos en él?", establece la conexión con las funciones zeta dinámicas, etc.

Answer 3

Esto ha sido bien abordado por los que han respondido antes que yo, pero sólo para comentar: hay una variedad de análogos que uno podría hacer para la conjetura de Poincare para los campos numéricos. Por un lado, hay varias afirmaciones equivalentes sobre la conjetura de Poincare para los 3 manifolds que son no equivalente cuando se traslada por analogía al caso del campo numérico. Como primer ejemplo sencillo, mientras que los 3 manfíes disfrutan de una dualidad de Poincare limpia, los campos de números tienen 2 torsiones adicionales. En particular, con frecuencia se tiene $H^1(\mathcal{O}_K,\mathbf{G}_m)$ trivial con $H^2(\mathcal{O}_K,\mathbf{G}_m)$ no triviales (ejemplo: cualquier campo numérico real cuadrático con grupo de clase trivial). Las equivalencias (o la falta de ellas) entre ser una 3-esfera de homología integral, una 3-esfera de homología racional y una 3-esfera de homotopía no son las mismas en las dos "categorías". Así que dependiendo de cómo se formule la conjetura análoga de Poincare, se pueden obtener respuestas diferentes. La forma más limpia (que se encuentra en "A Note on Arithmetic Topology" de Niranjan Ramachandran, que trata exclusivamente de esta cuestión) es que hay exactamente diez 3-esferas de homología racional que son 3-esferas de homotopía, a saber, los 9 campos de números imaginarios cuadráticos de clase uno y $\mathbb{Q}$ sí mismo. (O realmente, $\mathbb{Z}$ sí mismo), y aún más homotopía de 3 esferas.

Un segundo punto en el que se hace poco hincapié es que nadie realmente sabe cuál es la categoría correcta para esta analogía en el lado de la teoría de los números. Como ya se ha mencionado, si se toma como categoría Specs de anillos de enteros en un campo numérico, no se obtiene la conjetura de Poincare. Por otro lado, si se toma el punto de vista de la teoría de Artin-Verdier (o, alternativamente, de la teoría de Arakelov), donde se incluye en los espacios alguna información sobre el comportamiento de los primos infinitos (desde el punto de vista de la teoría de números, definir Spec(Z) como el conjunto de ideales primos ignora los primos obviamente importantes en el infinito), entonces se obtiene una teoría de cohomología diferente. Con estos nuevos grupos de cohomología en su lugar, algunas cosas parecen un poco más limpias. De nuevo, véase Ramachandran.

Answer 4

De la lectura del artículo de Morishita 0904.3399 (página 24), hay un análogo siguiente de la conjetura de Poincare:

Supongamos que k es un campo numérico cuyo anillo de enteros $\mathscr O_k$ es "cohomológicamente $\mathbb Z$ ", a saber $${}^{c}H^{i}(\text{Spec}\, \mathscr O_k,\mathbb{Z}) = {}^{c}H^{i}(\text{Spec}\, \mathbb{Z},\mathbb{Z})$$ para $i ≥ 0$ . Entonces $\mathscr O_k$ debe ser $\mathbb Z$ .

Answer 5

Parece que las siguientes observaciones en el documento de M. Kapranov http://arxiv.org/abs/alg-geom/9604018 página 64 abajo, no se ha mencionado hasta ahora

Según el punto de vista que va a Y.I. Manin y B. Mazur, uno debe visualizar cualquier esquema aritmético unidimensional esquema aritmético X como una especie de 3manifold y los puntos cerrados x ∈ X como como círculos orientados en este 3manifold. Así, el elemento de Frobenius (que es sólo una clase de conjugación en el grupo fundamental) se visualiza como la monodromía alrededor del círculo (que, como elemento del grupo fundamental grupo fundamental, también se define sólo hasta la conjugación, ya que no se elige ningún punto base base en el círculo), los símbolos de Legendre como números de enlace, etc. Desde este punto de vista, es natural pensar en los operadores (elementos del álgebra elementos del álgebra) af,x,d para f y y x, d variables como formando un bosón libre de bosón libre Af en el "manificio 3" X; más precisamente, para ±d > 0, el operador a ± f,x,d es la désima componente de Fourier de Af a lo largo del "círculo" Spec(Fq(x)). Los bosones a ± f,x,d y sus sumas sobre x ∈ X (es decir, las componentes de Taylor de log Φ ± f (t)) se utilizarán en un artículo posterior para construir construir representaciones de U en el espíritu de [FJ].

Podría ser el reciente artículo de Kapranov y sus coautores: http://arxiv.org/abs/1202.4073 El álgebra esférica de Hall de Spec(Z)

está desarrollando de alguna manera las ideas citadas anteriormente.

La pregunta que escuché de V. Golyshev y otros hace muchos años es la siguiente si Spec (Z) es análoga a la triple, ¿cuál debería ser el análogo aritmético de la teoría de Chern-Simons?