Al probar $a^3+b^3+c^3-3abc \geq 2\left({b+c\over 2}-a\right)^3$ .

Question

Este problema fue un problema de "calentamiento" del autor. Nota: $a, b, c$ son números no negativos. $$a^3+b^3+c^3-3abc \geq 2\left({b+c\over 2}-a\right)^3$$ Intenté quitar el $2$ de ${b+c\over 2}$ y conseguí esto $$ 4(a^3+b^3+c^3-3abc) \geq (b+c-2a)^3 $$ $$ \Rightarrow 2(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2) \geq (b+c-2a)^3 $$ Pero no pude llevarlo más lejos, pero parece que la desigualdad de Hölder puede ayudar. Y además no creo que sea un problema de "calentamiento".
Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Si $b+c<2a$ entonces $$LHS \geq 0 \ge RHS.$$ Si $b+c \geq 2a.$ Escribimos la desigualdad como $$4(a^3+b^3+c^3-3abc) \geq (b+c-2a)^3,$$ o $$4(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \geq (b+c-2a)^3.$$ Porque $a+b+c = 3a+(b+c-2a) \geq b+c-2a,$ por lo que demostraremos que $$4(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq (b+c-2a)^2,$$ equivalente a $$3(b-c)^2 \geq 0.$$ Lo cual es cierto. La igualdad se mantiene cuando $ a=b=c$ o $ a=0,\,b=c.$

Nota. Tenemos $$a^3+b^3+c^3-3abc-{2\left(\frac{b+c}{2}-a\right)^3}$$ $$=(b-c)^2+\frac{3\,a}{2} \Big[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\Big] \geq 0.$$

Answer 2

Porque $$a^3+b^3+c^3-3abc-2\left(\frac{b+c}{2}-a\right)^3$$ $$=\frac{3}{4}\Big[4a^3-4(b+c)a^2+2(b^2+c^2)a+b^3-b^2c-bc^2+c^3\Big]$$ $$=\frac{3}{4}\Big[a(2a-b-c)^2+a(b-c)^2+(b+c)(b-c)^2\Big]\geqslant 0.$$ La igualdad se produce para $$a(2a-b-c)^2=a(b-c)^2=(b+c)(b-c)^2=0.$$

1. $a=0$ .

Así, $(b+c)(b-c)^2=0,$ que da $b=c$ .

2. $a\neq0$ .

Por lo tanto, ya que $a(b-c)^2=0,$ obtenemos $b=c$ y como $a(2a-b-c)^2=0,$

obtenemos $a=b=c$ .

Answer 3

Mi primer SOS es el mismo que el de Nguyen Huyen. Aquí está mi segundo y tercero.

$$\displaystyle a^3+b^3+c^3-3abc-2\left(\frac{b+c}{2}-a\right)^3$$

$$\displaystyle=\frac34 \left( b-c \right) ^{2} \left( b+c \right) +\frac34 \left( a-b \right) ^{2}a+\frac14\, \left( a+b-2c \right) ^{2}a+\frac12\, \left(b+c-2a \right) ^{2}a$$ $$\displaystyle =\frac34\cdot {\frac { \left( 2\,{a}^{2}-2\,ac+{b}^{2}-{c}^{2} \right) ^{2}}{2 \,a+b+c}}+{\frac {3 a\left( a+b+c \right)\left( a-b \right) ^{2} }{ 2\,a+b+c}}$$

Answer 4

Utilizando el álgebra.

Considere que buscamos el valor mínimo de $$F=a^3+b^3+c^3-3abc -2\left({b+c\over 2}-a\right)^3$$ $$\frac{\partial F}{\partial a}=3 a^2+6 \left(\frac{b+c}{2}-a\right)^2-3 b c \tag 1$$ $$\frac{\partial F}{\partial b}=3b^2-3 \left(\frac{b+c}{2}-a\right)^2-3 a c\tag 2$$ $$\frac{\partial F}{\partial c}=3c^2-3 \left(\frac{b+c}{2}-a\right)^2-3 a b\tag 3$$

Utilizando $(3)$ el único valor posible de $c$ es $$c=\frac{1}{3} \left(2 \sqrt{4 a^2-a b+b^2}-2 a+b\right)\tag 4$$ Enchufar $(2)$ y resolver para $b$ las únicas soluciones posibles son $$b_1=a \qquad \text{and} \qquad b_2=\frac{\sqrt{6}-1}{2} a\tag 5$$ $$b=b_1\implies\frac{\partial F}{\partial a}=0$$

$$b=b_2\implies\frac{\partial F}{\partial a}=\frac{1}{12} \left(359-140 \sqrt{6}\right) a^2$$ que debe ser rechazado.

Así que $b=a$ et $c=a$ entonces $a=b=c$ et $F=0\,\, \forall a >0$