Norma del operador de rastreo

Question

Un operador lineal compacto $A$ sobre un espacio de Hilbert separable $H$ se dice que está en la clase de traza o en el espacio del operador nuclear si para algunas (y por tanto todas) bases ortonormales $(e_{n})$ de $H$ la norma de trazado $$\Vert A \Vert_{tr} = Tr| A |= \sum_{n}\langle ( A ^{\ast} A ) ^{\frac{1}{2}} e_{ n} , e_{ n} \rangle$$ es finito. En este caso $$TrA=\sum_{n}\langle A e_{ n} , e_{ n} \rangle$$ converge absolutamente y es independiente de la elección de la base ortonormal.

Además, tenemos $$\Vert A \Vert_{tr} \leq \sum_{n=1}^{\infty}\Vert A e_{n} \Vert<\infty$$

La norma de trazado también se puede caracterizar de la siguiente manera

$$\Vert A\Vert_{tr}= sup \sum_{n=1}^{\infty}|\langle A e_{ n} , f_{ n} \rangle|$$

Donde el supremum se toma sobre cualquier par de bases ortonormales $\{e_n\}$ y $\{f_n\}$

Mi pregunta es : ¿Podemos caracterizar la norma de trazado para que sea $$\Vert A \Vert_{tr} =sup \sum_{n=1}^{\infty}\Vert A e_{n} \Vert$$ Donde el supremum se toma sobre cualquier base ortonormal $\{e_n\}$ ?

Answer 1

Es muy fácil demostrar que, si $A$ es la clase de rastreo, $$\tag{1} \|A\|_{\rm tr}=\min\left\{\sum_n\|Af_n\|:\ \{f_n\}\ \text{ orthonormal basis}\right\}. $$ Tenga en cuenta que como $\|Ax\|=\|\,|A|x\,\|$ podemos suponer que $A$ es positivo. Así que $A=\sum_n\lambda_j\,e_n\otimes e_n$ para una secuencia decreciente $\{\lambda_n\}$ con $\lambda_n\searrow0$ y $\{e_n\}$ una base ortonormal. Así, $$ \|A\|_{\rm tr}=\sum_n\langle |A|e_n,e_n\rangle=\sum_n\langle Ae_n,e_n\rangle=\sum_n\lambda_n=\sum_n\|Ae_n\|. $$ Para una base ortonormal arbitraria $\{f_n\}$ tenemos $$ \|A\|_{\rm tr}=\sum_n\langle Af_n,f_n\rangle\leq\sum_n\|Af_n\|. $$ Así que $(1)$ se establece.