¿Cómo es $\frac{2}{4u^{2} - 1}$ ¿se divide en 2 fracciones parciales?

Question

¿Puede alguien explicarme el proceso de cómo la fracción $$\frac{2}{4u^{2} - 1}$$ se divide en las dos fracciones que se ven a continuación?

$$I = \int_{1}^{2}\frac{2}{4u^{2}-1} \,\mathrm{d}u = \int_{1}^{2}\frac{1}{2u-1} - \frac{1}{2u+1} \,\mathrm{d}u$$

Answer 1

Observamos que $4u^2 - 1$ es una diferencia de dos cuadrados perfectos, $2u-1$ y $2u+1$ . Es decir, podemos factorizarlo como $4u^2 - 1 = (2u-1)(2u+1)$ . Así, comenzando la descomposición de la fracción parcial,

$$\frac{2}{4u^2 - 1} = \frac{A}{2u-1} + \frac{B}{2u+1}$$

para algunas constantes $A,B$ por determinar. Si agrupáramos estos últimos bajo un denominador común, veríamos

$$\frac{2}{4u^2 - 1} = \frac{A(2u+1)+B(2u-1)}{(2u-1)(2u+1)}$$

Así, los numeradores son iguales, es decir

$$A(2u+1)+B(2u-1) = 2$$

Distribuir,

$$2Au + A + 2Bu - B = 2$$

Agrupamos los términos que implican $u$ juntos, y los constantes juntos:

$$u(2A+2B) + (A-B) = 2$$

Tenga en cuenta que $2=2+0u$ . Entonces, igualando los coeficientes similares de cada lado,

$$A-B = 2 \;\;\;\;\; 2A+2B=0$$

Esto da lugar a un sistema de ecuaciones, que puedes resolver por el método que prefieras. Personalmente, yo duplicaría la primera, sumaría las dos ecuaciones y obtendría que $4A=4 \implies A=1$ . Entonces, sustituyendo esto en la primera ecuación, obtenemos que $B=-1$ .

Sustitución de estos de nuevo en la descomposición original, entonces,

$$\frac{2}{4u^2 - 1} = \frac{1}{2u-1} + \frac{-1}{2u+1}= \frac{1}{2u-1} - \frac{1}{2u+1}$$

dándonos la descomposición deseada.

Answer 2

$\frac{2}{4u^2 - 1} = \frac{A}{2u - 1} + \frac{B}{2u + 1}$

$\frac{2}{4u^2 - 1} = \frac{A(2u+1)}{4u^2 - 1} + \frac{B(2u-1)}{4u^2 - 1}$

$2 = 2Au + 2Bu + A - B$

$2 = u(2A + 2B) + A - B$

$u$ parte $0$ porque $2$ es independiente de $u$ .

$A + B = 0$

$A - B = 2$

Resuelve la ecuación simultánea para obtener el resultado.

Answer 3

Como se ha mencionado en los comentarios, $4u^{2}-1 = (2u - 1)(2u + 1)$ por lo que podemos escribir la fracción como

$$\frac{2}{4u^{2} - 1} = \frac{2}{(2u - 1)(2u + 1)} = \frac{A}{2u-1} + \frac{B}{2u+1}.$$

Trabajar con $$\frac{2}{(2u - 1)(2u + 1)} = \frac{A}{2u-1} + \frac{B}{2u+1}$$ y multiplicando ambos lados por el $(2u-1)(2u+1)$ nos da

$$2 = A(2u+1) + B(2u-1).$$

Si sustituimos $u = 1/2$ obtenemos $2 = 2A$ y así $A = 1$ . Sustituyendo $u = -1/2$ nos da $2 = -2B$ y así $B = -1$ . Esto significa que

$$\frac{2}{4u^{2} - 1}= \frac{1}{2u-1} - \frac{1}{2u+1}$$

y así $$\int_{1}^{2}\frac{2}{4u^{2} - 1} \, \mathrm{d}u= \int_{1}^{2}\frac{1}{2u-1} - \frac{1}{2u+1} \, \mathrm{d}u.$$