Suma de bolas en un espacio vectorial normado

Question

Tengo un problema en el que se dan dos bolas en un espacio vectorial normado y se pide demostrar que la adición de estas bolas es también una bola.

Sé que $B(a,r) = rB(0,1) + \{a\} $ y $rB(0,1) = r\{ x: \|x\| < 1\} + {a}$

Pero cómo mostrar esa suma de bolas $B_1(a,r_1) + B_2(b,r_2)$ es también una bola, por ejemplo $C( ... )$ ?

Creo que lo siguiente no es del todo correcto. Busco la comprensión.

$(r_1\{x:\|x\| <1 \} + \{a\}) + (r_2\{x: \|x\| < 1 \} + \{b\})$

Por otra parte, parece correcto traer $r_{1,2}$ dentro del conjunto: $\{rx: \|x\| < 1 \}$ y formar conjuntos con $y$ de la siguiente manera: $y = rx \Rightarrow x = \frac{y}{r}$ ,

$\left\{y: \left\|\frac{y}{r}\right\| < 1 \right\}$ .

Ahora añadiendo conjuntos formados

\begin{align} \left(\left\{y_1:\left\|\frac{y_1}{r_1}\right\| < 1 \right\} +\{a \}\right) + \left(\left\{y_2: \left\|\frac{y_2}{r_2}\right\| <1 \right\} + \{ b\}\right)\\= \left\{y_1+y_2: \left\|\frac{y_1}{r_1} + \frac{y_2}{r_2}\right\| < 2 \right\} + \{a\} + \{b\} \end{align}

Answer 1

Primero verifique que $r_1B(0,1)+r_2B(0,1)=(r_1+r_2)B(0,1)$ Cualquier elemento del lado izquierdo es del tipo $r_1 x +r_2y$ con $||x||<1$ y $||y||<1$ . Desde $r_1 x +r_2y=(r_1+r_2)(cx+dy)$ donde $c=\frac {r_1} {r_1+r_2}$ y $d=\frac {r_2} {r_1+r_2}$ y como $||cx+dy||<c+d=1$ vemos que $r_1B(0,1)+r_2B(0,1) \subset(r_1+r_2)B(0,1)$ . Para demostrar la inclusión inversa, dejemos que $x=(r_1+r_2)y$ donde $||y||<1$ . Entonces $x=r_1y+r_2y \in r_1 B(0,1)+r_2 B(0,1)$ Hemos demostrado que $r_1B(0,1)+r_2B(0,1)=(r_1+r_2)B(0,1)$ . Ahora deberías ser capaz de completar la prueba utilizando el hecho de que $a+B(x,r)=B(a+x,r)$ para cualquier $a,x,r$ . La respuesta es, por supuesto $B(a,r_1)+B(b,r_2)=B(a+b,r_1+r_2)$ .

Answer 2

Como sugiere @Kavi Rama Murthy, la respuesta es:

$$B(a, r_1) + B(b, r_2) = B(a + b, r_1 + r_2)$$

Dejemos que $x \in B(a, r_1) + B(a, r_2)$ . Por definición, $x= u + v$ , donde $u \in B(a, r_1)$ y $v \in B(b, r_2)$ .

Por lo tanto:

$$\|x - (a + b)\| = \|u - a + v - b\| \le \|u - a\| + \|v - b\| < r_1 + r_2$$

así que $x \in B(a + b, r_1 + r_2)$ .

A la inversa, dejemos que $x \in B(a + b, r_1 + r_2)$ . Observe que

$$x = \underbrace{\frac1{r_1 + r_2}\Big(r_1(x - b) + r_2a\Big)}_{\in B(a, r_1)} + \underbrace{\frac1{r_1 + r_2}\Big(r_2(x - a) + r_1b\Big)}_{\in B(b, r_2)}$$

Sí, es cierto:

$$\left\|\frac1{r_1 + r_2}\Big(r_1(x - b) + r_2a\Big) - a\right\| = \frac{r_1}{r_1 + r_2}\underbrace{\|x - (a + b)\|}_{< r_1 + r_2} < r_1$$

$$\left\|\frac1{r_1 + r_2}\Big(r_2(x - a) + r_1b\Big) - b\right\| = \frac{r_2}{r_1 + r_2}\underbrace{\|x - (a + b)\|}_{< r_1 + r_2} < r_2$$

Por lo tanto, $x \in B(a, r_1) + B(b, r_2)$ .