Dejemos que $F$ un espacio separable y $T: E \to F$ una isometría lineal. Es $E$ ¿un espacio separable?

Question

Dejemos que $F$ un espacio separable y $T: E \to F$ una isometría lineal. Es $E$ ¿un espacio separable? (E, F son espacios lineales)

Estaba trabajando en el siguiente problema: demostrar que $T: l_\infty \to L(l_2,l_2)$ definido por $T(a) (b) = (a_n b_n), \quad a = (a_n) \in l_\infty , b= (b_n) \in l_2$ y entonces, concluir que $L(l_2,l_2)$ no es un espacio separable. Bueno, tenemos que $l_\infty$ no es separable, así que si la setencia anterior es correcta, hemos terminado.

Mi intento:

Consideremos un conjunto $A = $ { $ y_n \in F: n \in \mathbb N $ } denso en $F$ . Así que, $\forall x \in E$ , como $T(x) \in F$ , dado $n \in \mathbb N$ existe $M(n) \in \mathbb N$ con $|| T(x) - y_{M(n)} || < 1/n$ . Con esto, ¿cómo puedo obtener un conjunto contable en $E$ que es denso en $E$ ?

Gracias

Answer 1

Sugerencia: puede suponer sin pérdida de generalidad que $E \subseteq F$ . Como $F$ es separable, podemos suponer, como tú lo hiciste, que $F$ tiene un subconjunto denso $\{y_0, y_1, \ldots\}$ . Dado $m, n \in \Bbb{N}$ si hay un $x \in E$ tal que $\|x - y_n\| < 1/(m+1)$ , defina $x_{mn}$ para ser algo así $x$ En caso contrario, defina $x_{mn}$ para ser $0$ . Ahora demuestre que el $x_{mn}$ forman un subconjunto denso contable de $E$ .

Answer 2

Sugerencia un espacio métrico es separable si y sólo si es contable en segundo lugar.