Subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n+1}$ prueba

Question

Dejemos que $G\subset \mathbb{R}^n$ ser abierto y $f:G\to \mathbb{R}$ sea continua en $G$ . Demuestre que el conjunto $$\{(a,b)\in\mathbb{R}^{n+1}:a\in G,b>f(a)\}$$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n+1}$ .

¿Cómo puedo demostrarlo? No sé ni por dónde empezar.

Answer 1

Paso 1: la función $g:(a,b)\longmapsto b-f(a)$ es continua en $G\times \mathbb{R}$ . Así que su conjunto $S=g^{-1}((0,+\infty))$ está abierto en $G\times \mathbb{R}$ .

Paso 2: desde $G$ está abierto, $G\times\mathbb{R}$ está abierto en $\mathbb{R}^{n+1}$ .

Paso 3: si $U$ es abierto en un espacio topológico $X$ entonces $V\subseteq U$ está abierto en $U$ para la topología inducida (es decir $V=U\cap W$ para algún conjunto abierto $W$ en $X$ ) si y sólo si $V$ está abierto en $X$ .

Conclusión: desde $S$ en abierto en $G\times \mathbb{R}$ (paso 1) que está abierto en $\mathbb{R}^{n+1}$ (paso 2), se abre en $\mathbb{R}^{n+1}$ (paso 3). El argumento corto una vez que hemos aclarado todo esto es: $$ S=g^{-1}((0,+\infty))=(G\times\mathbb{R})\cap W $$ para algunos $W$ abrir en $\mathbb{R}^{n+1}$ .

Nota: Podría ser interesante ver que, aunque es tentador dada la estricta desigualdad que define $S$ La prueba de que el complemento es cerrado no es necesariamente más fácil en esta situación. Así que la he añadido a continuación.

Argumento del complemento: considerar el complemento de su conjunto $$ S^c=G^c\times\mathbb{R}\cup\{(a,b)\;;\;a\in G\; b\leq g(a)\}. $$ Desde $G^c$ es cerrada la lhs es claramente cerrada. Ahora dejemos que $(a,b)$ sea un punto límite de $S^c$ . Es un punto límite de la lhs o de la rhs , o de ambas. Si es un punto límite de la lhs, le pertenece como acabamos de ver que es cerrado. Ahora bien, si es un punto límite de la rhs, hay que considerar dos casos. Primero $a\not\in G$ entonces $(a,b)$ pertenece a la lhs. Segundo, $a\in G$ . Entonces $b\leq g(a)$ por la continuidad de $g$ en $a$ (como hemos $(a_n,b_n)$ que tiende a $(a,b)$ con $a_n$ convergiendo a $a$ en $G$ et $b_n\leq f(a_n)$ para todos $n$ , lo que da como resultado $b\leq f(a)$ en el límite). Así que de nuevo $(a,b)$ pertenece a $S^c$ . Así que $S^c$ contiene todos sus puntos límite. Por lo tanto, es cerrado y $S$ está abierto.