Primera pista:
Es $1/φ$. Echa un vistazo a la proporción áurea.
Segunda sugerencia, que añade un poco a las respuestas dadas hasta el momento:
Puesto que usted probablemente debería aplicar los límites formalmente, se lo puede describir como el límite de una secuencia dada por $a_0 = 1$$a_{k+1} = \frac{1}{1 + a_k}$. Ahora si $x = \lim_{k → ∞} a_k$, luego
$$\frac{1}{1+x} \overset{\text{limit rules}}{=} \lim_{k → ∞} \frac{1}{1 + a_{k}} = \lim_{k → ∞} a_{k+1} = x$$
Por lo $x^2 + x - 1 = 0$.
Para demostrar que el límite de las salidas de emergencia en primer lugar, se puede decir desde el primer par de miembros:
$$ 1,\; \frac{1}{2},\; \frac{2}{3},\; \frac{3}{5},\; \frac{5}{8},\; \frac{8}{13},\; …$$
que la secuencia es la realidad dada por
$$ a_k = \frac{f_k}{f_{k+1}};\quad \text{where}\; f_{k+2} = f_{k+1} + f_k, \text{and}\; f_1 =f_2 = 1,$$
significado $f_k$ indica el $k$-ésimo número de Fibonacci, y fácilmente demostrar mediante la inducción.
Ahora, el $k$-ésimo número de Fibonacci es dado por $f_k = \frac{φ^k - ψ^k}{\sqrt{5}}$ donde$φ = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ψ = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$, las raíces de $X^2 - X - 1$. Esto es cierto ya que la secuencia de Fibonacci está determinada únicamente por la recursividad y sus dos primeros miembros.
Pero que la anterior condición implica $φ^{k+2} = φ^{k+1} + φ^k$$ψ^{k+2} = ψ^{k+1} + ψ^k$, así:
$$\frac{φ^{k+2} - ψ^{k+2}}{\sqrt{5}} = \frac{φ^{k+1} - ψ^{k+1}}{\sqrt{5}} + \frac{φ^k - ψ^k}{\sqrt{5}},$$
mientras que $\frac{φ^1 - ψ^1}{\sqrt{5}} = \frac{φ^2 - ψ^2}{\sqrt{5}} = 1$.
Ahora $\frac{f_k}{φ^k} \overset{k → ∞}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{5}}$, ya que el $0 < ψ < 1$$ψ^k \overset{k → ∞}{\longrightarrow} 0$$0 < \frac{1}{φ} < 1$$\frac{1}{φ^k} \overset{k → ∞}{\longrightarrow} 0$.
Esto, sin embargo, implica:
$$\frac{f_k}{f_{k+1}} = \frac{1}{φ} · \frac{f_k}{φ^k}·\frac{φ^{k+1}}{f_{k+1}} \overset{k → ∞}{\longrightarrow} \frac{1}{φ}.$$
