grado de trascendencia finito y cierre algebraico

Question

Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado. Sea $K$ sea un campo de extensión de $k$ de grado de trascendencia finito sobre $k$ . Intuitivamente, me parece que $K$ no puede ser cerrado algebraicamente. ¿Hay alguna prueba de este hecho o un contraejemplo?

Answer 1

Pongamos un ejemplo sencillo.

$k(t)$ no es algebraicamente cerrado. Por ejemplo, no tiene $\sqrt{t}$ . (tiene trdeg 1)

El cierre algebraico $\overline{k(t)}$ de $k(t)$ tiene un grado de trascendencia finito (es decir, 1). Esto se deduce de la definición de grado de trascendencia, ya que por supuesto $\overline{k(t)}/k(t)$ es algebraico.