Demuestra que la bisectriz de la cuerda pasa por el centro de la circunferencia

Question

Hola, puede alguien darme una demostración sencilla del siguiente teorema:

"La bisectriz de una cuerda pasa por el centro del círculo".

Adjunto un diagrama de lo que quiero decir y enlace web de una prueba que no entendí a continuación.

https://proofwiki.org/wiki/Perpendicular_Bisector_of_Chord_Passes_Through_Center

Por favor, explíquelo de forma sencilla y completa porque mañana tengo un examen sobre esto. Además, ¿podría explicar el teorema inverso por el que una bisectriz pasa por el centro del círculo, demostrar que es perpendicular y una línea perpendicular pasa por el centro, demostrar que biseca la cuerda.

Answer 1

En realidad, en lugar de utilizar el criterio SAS, puede utilizar el criterio SSS. $$AC = BC$$ [∵ AC y BC son radios] $$CD = BD$$ [∵ BC se biseca para formar CD y BD] $$DC = DC$$ [Común]

Si la bisectriz no pasa por C, entonces los lados de la hipotenusa no serían radios, por lo tanto los triángulos no serán congruentes, por lo tanto la bisectriz no será perpendicular, lo cual es una prueba por contradicción.

Para más información, visite https://www.khanacademy.org/math/geometry-home/cc-geometry-circles/area-inscribed-triangle/v/sss-to-show-a-radius-is-perpendicular-to-a-chord-that-it-bisects et https://www.khanacademy.org/math/geometry-home/cc-geometry-circles/area-inscribed-triangle/v/perpendicular-radius-bisects-chord

Answer 2

La bisectriz de un segmento $[AB]$ es el lugar de los puntos $M$ equidistante de $A$ et $B$ .

Esto significa que $MA=MB$ .

Pero si establecemos $MA=R$ entonces esto significa $A,B$ están en el círculo de centro $M$ y el radio $R$ .

Y como el acorde en este caso es precisamente $[AB]$ et $M$ pertenece a la bisectriz perpendicular, tienes tu resultado.

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Si definimos la bisectriz perpendicular por la línea $\perp[AB]$ y pasando por $I=\frac{A+B}2$ en medio de $[AB]$ .

Entonces, para cualquier punto $M$ en el bisector, podemos aplicar el teorema de Pitágoras.

$\begin{cases} MA^2=MI^2+AI^2\\ MB^2=MI^2+BI^2 \end{cases}$ pero como $AI=BI$ porque $I$ medio de $[AB]$ entonces $MA=MB$ .

Y podemos concluir como anteriormente.

Answer 3

Considere la misma cifra a la que ha enlazado.

En la figura, dibuja una línea perpendicular a AB en el punto B. Digamos que ésta interseca al círculo en el punto E. Sea D el punto medio de AB. Une CD. Probamos primero que $\triangle$ ACD y $\triangle$ AEB son similares.
AC = CE = r (radio del círculo)
AD = DB (ya que D es el punto medio de AB)
Así que tenemos,
$$ \frac {AC}{AD} = \frac{AE}{AB} = 2$$ $$\angle CAD = \angle EAB \space (Common)$$ Con estas condiciones, está claro que estos dos triángulos son similares. Por tanto, sus ángulos correspondientes son congruentes. En concreto, $$ \angle ADC = \angle ABE = 90^0 \space (by \space construction)$$ Esto demuestra que la línea CD es la bisectriz perpendicular, siendo C el centro del círculo.

Answer 4

Empieza con un diámetro.

Construye las dos rectas tangentes a la circunferencia en los puntos extremos del diámetro.

Desciende el diámetro a lo largo de las líneas tangentes hasta que coincida con la cuerda.

Por simetría, la línea entre el punto medio de la cuerda y el origen del círculo es perpendicular a la cuerda.

Answer 5

Para la primera parte de la pregunta la posición de $C$ se elige al principio de forma arbitraria en el plano. Después de $SAS$ se satisface con los dados, Los triángulos $ MAC, MBC $ son congruentes, $C$ debe estar en la bisectriz. No importa dónde el punto $C$ se elige en la bisectriz perpendicular, el círculo que pasa por $A,B$ tiene que tener su centro en algún lugar de $MC$ línea, es suficiente para una prueba.