La noción de una "categoría del Ser" que Lawvere discute allí es la noción que más recientemente ha estado llamando una categoría de cohesión . Voy a tratar de iluminar un poco lo que está pasando .
Me limitaré al caso de que la categoría sea un topos y diré topos cohesivos para abreviar. Este es un topos que satisface una pequeña colección de axiomas simples pero poderosos que se supone que aseguran que sus objetos pueden ser pensados consistentemente como espacios geométricos construidas a partir de puntos dotados de estructura "cohesiva" (por ejemplo, estructura topológica, o estructura lisa, etc.). Se trata, pues, de axiomatizar grandes topos en los que pueda tener lugar la geometría.
Puede encontrar más detalles y referencias aquí:
http://nlab.mathforge.org/nlab/show/cohesive+topos .
Vamos a repasar el artículo:
Un axioma sobre un topos cohesivo $\mathcal{E}$ es que el morfismo geométrico de sección global $\Gamma : \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ al topos base dado $\mathcal{S}$ tiene otro adjunto a la izquierda $\Pi_0 := \Gamma_! : \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ a su imagen inversa $\Gamma^{\ast}$ que escribiré $\mathrm{Disc} := \Gamma^{\ast}$ por las razones que se exponen a continuación. Este adjunto extra a la izquierda tiene la interpretación de que envía cualquier objeto $X$ al conjunto $\Pi_0(X)$ "de componentes conectados". Lo que Lawvere llama un objeto conectado en el artículo (p. 4) es, por tanto, uno que es enviado por $\Pi_0$ al objeto terminal.
Otro axioma es que $\Pi_0$ conserva los productos finitos. Esto implica por lo anterior que la colección de objetos conectados es cerrada bajo productos finitos. Esto aparece en la página 6. Lo que menciona allí con referencia a Hurewicz es que dado un topos con tal $\Pi_0$ se enriquece canónicamente sobre el topos base de una segunda manera, una manera geométrica.
Creo que esto, al igual que otros aspectos de la toponimia cohesiva, está a la altura de su relevancia cuando damos el paso evidente a la cohesión $\infty$ -propósitos. Más detalles sobre esto aquí
http://nlab.mathforge.org/nlab/show/cohesive+(infinito,1)-topos
(Pero nótese que esto, aunque inspirado por Lawvere, no se debe a él).
En este contexto más amplio, el adjunto izquierdo adicional $\Pi_0$ se convierte en $\Pi_\infty$ que acabo de escribir $\Pi$ : envía, se puede mostrar, cualquier objeto a su fundamental geométrica $\infty$ -para una noción de caminos geométricos intrínseca a la $\infty$ -topos. El hecho de que esto preserve los productos finitos dice entonces que hay una noción de concordancia del director $\infty$ -en los paquetes de la $\infty$ -topos.
El siguiente axioma sobre un topos cohesivo dice que también hay un adjunto derecho adicional $\mathrm{coDisc} := \Gamma^! : \mathcal{S} \to \mathcal{E}$ al functor de sección global. Esto hace en total un cuádruple adjunto
$$ (\Pi_0 \dashv \mathrm{Disc} \dashv \Gamma \dashv \mathrm{coDisc}) := (\Gamma_! \dashv \Gamma^* \dashv \Gamma_* \dashv \Gamma^!) : \mathcal{E} \to \mathcal{S} $$
y otro axioma requiere que tanto $\mathrm{Disc}$ así como $\mathrm{coDisc}$ están llenos y son fieles.
De esto habla Lawvere a partir de la página 12. El functor descendente que menciona es $\Gamma : \mathcal{E} \to \mathcal{S}$ . Esto tiene la interpretación de enviar un espacio cohesivo a su conjunto subyacente de puntos, como se ve por el topos base $\mathcal{S}$ . Las inclusiones adyacentes a la izquierda y a la derecha son $\mathrm{Disc}$ y $\mathrm{coDisc}$ . Estos tienen la interpretación de enviar un conjunto de puntos al espacio correspondiente equipado con cohesión discreta o cohesión codiscreta (indiscreta) . Por ejemplo, en el caso de que la estructura cohesiva sea una estructura topológica, ésta será la topología discreta y la topología indiscreta, respectivamente, sobre un conjunto dado. Siendo completo y fiel, $\mathrm{Disc}$ y $\mathrm{coDisc}$ por lo tanto, hacer $\mathcal{S}$ una subcategoría de $\mathcal{E}$ de dos maneras (p. 7), aunque sólo la imagen de $\mathrm{coDisc}$ también será un subtópico, como menciona en la página 7.
(Esto tiene, por cierto, una implicación importante que Lawvere no parece mencionar: implica que tenemos derecho al correspondiente cuasi-topos de bipresas separadas, inducido por la segunda topología que es inducida por el sub-topos. Eso, se puede demostrar, puede identificarse con la colección de hormigón gavillas, por lo tanto espacios cohesivos de hormigón (aquellos cuya cohesión sí se apoya en sus puntos). En el caso del topos cohesivo para la geometría diferencial, los objetos concretos en este sentido son precisamente los espacios difeológicos . )
Llama al subtopos dado por la imagen de $\mathrm{coDisc} : \mathcal{S} \to \mathcal{E}$ la de "puro devenir" más abajo en la p. 7, mientras que a la subcategoría de objetos discretos la llama "no devenir". La forma en que yo entiendo esta terminología (que puede no ser exactamente lo que él quiere decir) es la siguiente:
mientras que cualquier $\infty$ -topos es una colección de espacios con estructura Una cohesión $\infty$ -topos viene con el adjunto extra $\Pi$ , que dije tiene la interpretación de enviar cualquier espacio a su paso $\infty$ -groupoide. Por lo tanto, existe una noción intrínseca de caminos geométricos en cualquier cohesión $\infty$ -topos. Esto permite, en particular, definir el transporte paralelo a lo largo de las trayectorias y las trayectorias superiores, por lo tanto, una especie de dinámica . De hecho hay cohomología diferencial en cada cohesivo $\infty$ -topos.
Ahora bien, en un objeto discreto no hay caminos no triviales (formalmente porque $\Pi \; \mathrm{Disc} \simeq \mathrm{Id}$ por el hecho de que $\mathrm{Disc}$ es completa y fiel), por lo que en un objeto discreto "no hay dinámica" y, por tanto, "no hay devenir", si se quiere. A la inversa, en un objeto codiscreto toda secuencia de puntos cuenta como un camino, por lo que la distinción entre el espacio y su "dinámica" desaparece y entonces tenemos "puro devenir", si lo deseas.
Adelante. Obsérvese a continuación que cada triple adjunto induce un par adjunto de una comónada y una mónada. En la situación actual obtenemos
$$ (\mathrm{Disc} \;\Gamma \dashv \mathrm{coDisc}\; \Gamma) : \mathcal{E} \to \mathcal{E} $$
Esto es lo que Lawvere llama el esqueleto y el coskeleton en la página 7. En el $\infty$ -contexto del topos el adjunto izquierdo $\mathbf{\flat} := \mathrm{Disc} \; \Gamma$ tiene la interpretación de enviar cualquier objeto $A$ al coeficiente de cohomología de los sistemas locales con coeficientes en $A$ .
El párrafo que envuelve de la página 7 a la 8 comenta la posibilidad de que el topos base $\mathcal{S}$ no es sólo el de los conjuntos, sino algo más rico. Un ejemplo de esto al que soy aficionado es el de súper cohesión (en el sentido de superálgebra y supergeometría): el topos de suave La supergeometría es cohesiva sobre el topos base de los superconjuntos desnudos.
Lo que sigue en la página 9 son pensamientos de los que no me consta que Lawvere los haya formalizado más adelante. Pero al final de la página 9 llega a la identificación axiomática de los espacios infinitesimales o formales en el topos cohesivo. En su artículo más reciente sobre esto lo que dice aquí en la p. 9 se formaliza como sigue: dice que un objeto $X \in \mathcal{E}$ es infinitesimal si el morfismo canónico $\Gamma X \to \Pi_0 X$ es un isomorfismo. Para ver qué significa esto, supongamos que $\Pi_0 X = *$ por lo que $X$ está conectada. Entonces la condición de isomorfismo significa que $X$ tiene exactamente un punto global. Pero $X$ puede ser mayor: puede ser una vecindad formal de ese punto, por ejemplo puede ser $\mathrm{Spec} \;k[x]/(x^2)$ . Un general $X$ para lo cual $\Gamma X \to \Pi_0 X$ es una iso es por tanto una unión disjunta de vecindades formales de puntos.
De nuevo, el significado de esto se acentúa en el contexto de la cohesión $\infty$ -topos: hay objetos $X$ para lo cual $\Gamma X \simeq * \simeq \Pi X$ tienen la interpretación de ser formal $\infty$ -groupoides por ejemplo, formalmente exponenciado $L_\infty$ -algebras. Y por lo tanto hay $\infty$ -La teoría de la mentira canónicamente en cada cohesivo $\infty$ -topos.
Me detendré aquí. Tengo más discusión de todo esto en:
http://nlab.mathforge.org/schreiber/show/differential+cohomología+en+un+topo+cohesivo
