Mapa de caras y simplex

Question

Dejemos que $F_{i,p}: \Delta_{p-1} \rightarrow \Delta_{p}$ denotan el $i$ -el mapa de la cara, es decir, el mapa que mapea $e_0 \mapsto e_0$ , $\dots$ , $e_i \mapsto e_{i+1}$ , $\dots$ , $e_{p-1} \mapsto e_p$ .

Consideremos $\Delta_2$ (el triángulo) y que sus vértices sean $e_0, e_1, e_2$ .

Ahora quiero escribir $F_{0,2}$ :

$F_{0,2}(e_0, e_1) = e_1 e_2$ , OK

$F_{0,2}(e_1, e_2) = e_2 (?)$

$F_{0,2} (e_0, e_2)= e_0 (?)$

¿Puede alguien decirme qué ocurre en los otros dos casos? Parece que la definición de mapa de caras no puede hacer frente a esos casos. Gracias por su ayuda.

Answer 1

Creo que lo que causa la confusión aquí es que usted ya ha identificado el $\Delta_{p-1}$ como un subespacio de $\Delta_{p}$ pero el propósito del mapa facial es hacer esta identificación formal.

Entonces, supongamos que tienes un simplex $\Delta_{p-1} = (f_0, \ldots, f_{p-2})$ en tu mano y estás tratando de encontrar una manera de mapearlo a un simplex $\Delta_p = (e_0, \ldots, e_{p-1}$ de pie en su mesa (me estoy pasando de la raya sólo para dilucidar que estos dos objetos son completamente distintos). Ahora, elija $0 \leq i \leq p-1$ y considerar el objeto $\tilde \Delta_{p-1} = (e_0, \ldots, e_{i-1}, e_{i+1}, e_{p-1})$ . Esto es de nuevo un $(p-1)$ -y tenemos una identificación natural $F_i : \Delta_{p-1} \to \tilde \Delta_{p-1} \subset \Delta_p$ .

Por ejemplo, dejemos que $(f_0, f_1)$ sea una línea. Puedes asignar esto al triángulo $(e_0, e_1, e_2)$ de tres maneras diferentes apartando un vértice $e_i$ , $0 \leq i \leq 2$ lo que te deja con ${3 \choose 2} = 3$ posibilidades para la elección de los otros dos vértices que definen una de las caras del triángulo.